Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6776 / 6264
↖ ↑ ↗
← S 68.528235°
E117.773438°		 ← 1 788.67 m → S 68.528235°
E117.817383°		 →
↑
1 788.02 m
↓
↑
1 788.02 m
↓
S 68.544315°
E117.773438°		 ← 1 787.39 m →
3 197 030 m²		 S 68.544315°
E117.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82720947265625 y=0.76470947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82720947265625 × 213)
    floor (0.82720947265625 × 8192)
    floor (6776.5)     		tx = 6776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76470947265625 × 213)
    floor (0.76470947265625 × 8192)
    floor (6264.5)     		ty = 6264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6776 / 6264 ti = "13/6776/6264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6776/6264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6776 ÷ 213
    6776 ÷ 8192     		x = 0.8271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6264 ÷ 213
    6264 ÷ 8192     		y = 0.7646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8271484375 × 2 - 1) × π
    0.654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05553426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    -0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05553426} λ = 2.05553426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66283517402051))-π/2
    2×atan(0.18960066647185)-π/2
    2×0.18737649843559-π/2
    0.374752996871181-1.57079632675     		φ = -1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05553426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6776 KachelY 6264 2.05553426 -1.19604333 117.773438 -68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 6777 KachelY 6264 2.05630125 -1.19604333 117.817383 -68.528235
    Unten links KachelX 6776 KachelY + 1 6265 2.05553426 -1.19632398 117.773438 -68.544315
    Unten rechts KachelX + 1 6777 KachelY + 1 6265 2.05630125 -1.19632398 117.817383 -68.544315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19604333--1.19632398) × R
    0.000280650000000104 × 6371000     		dl = 1788.02115000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19604333--1.19632398) × R
    0.000280650000000104 × 6371000     		dr = 1788.02115000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05553426-2.05630125) × cos(-1.19604333) × R
    0.000766990000000245 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 1788.66509747599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05553426-2.05630125) × cos(-1.19632398) × R
    0.000766990000000245 × 0.365781492791342 × 6371000     		du = 1787.38881013165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19604333)-sin(-1.19632398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.365781492791342)×R²
    abs(2.05630125-2.05553426)×0.000261186758807319×R²
    0.000766990000000245×0.000261186758807319×6371000²
    0.000766990000000245×0.000261186758807319×40589641000000     		ar = 3197030.03115603m²