Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6776 / 2317
↖ ↑ ↗
← N 78.002758°
W 31.113281°		 ← 507.87 m → N 78.002758°
W 31.091308°		 →
↑
507.96 m
↓
↑
507.96 m
↓
N 77.998190°
W 31.113281°		 ← 508.06 m →
258 027 m²		 N 77.998190°
W 31.091308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413604736328125 y=0.141448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413604736328125 × 214)
    floor (0.413604736328125 × 16384)
    floor (6776.5)     		tx = 6776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141448974609375 × 214)
    floor (0.141448974609375 × 16384)
    floor (2317.5)     		ty = 2317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6776 / 2317 ti = "14/6776/2317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6776/2317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6776 ÷ 214
    6776 ÷ 16384     		x = 0.41357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2317 ÷ 214
    2317 ÷ 16384     		y = 0.14141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54302920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14141845703125 × 2 - 1) × π
    0.7171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54302920} λ = -0.54302920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25303428214264))-π/2
    2×atan(9.51656802415597)-π/2
    2×1.46610064280616-π/2
    2.93220128561232-1.57079632675     		φ = 1.36140496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54302920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36140496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.002758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6776 KachelY 2317 -0.54302920 1.36140496 -31.113281 78.002758
    Oben rechts KachelX + 1 6777 KachelY 2317 -0.54264570 1.36140496 -31.091308 78.002758
    Unten links KachelX 6776 KachelY + 1 2318 -0.54302920 1.36132523 -31.113281 77.998190
    Unten rechts KachelX + 1 6777 KachelY + 1 2318 -0.54264570 1.36132523 -31.091308 77.998190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36140496-1.36132523) × R
    7.97299999999446e-05 × 6371000     		dl = 507.959829999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36140496-1.36132523) × R
    7.97299999999446e-05 × 6371000     		dr = 507.959829999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54302920--0.54264570) × cos(1.36140496) × R
    0.000383499999999981 × 0.207864599182176 × 6371000     		do = 507.871106092904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54302920--0.54264570) × cos(1.36132523) × R
    0.000383499999999981 × 0.207942587027589 × 6371000     		du = 508.061652118863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36140496)-sin(1.36132523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207864599182176-0.207942587027589)×R²
    abs(-0.54264570--0.54302920)×7.7987845413241e-05×R²
    0.000383499999999981×7.7987845413241e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.7987845413241e-05×40589641000000     		ar = 258026.515713236m²