Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67758 / 69302
↖ ↑ ↗
← S 10.287896°
E  6.102905°		 ← 300.52 m → S 10.287896°
E  6.105652°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.290599°
E  6.102905°		 ← 300.51 m →
90 311 m²		 S 10.290599°
E  6.105652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516956329345703 y=0.528736114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516956329345703 × 217)
    floor (0.516956329345703 × 131072)
    floor (67758.5)     		tx = 67758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528736114501953 × 217)
    floor (0.528736114501953 × 131072)
    floor (69302.5)     		ty = 69302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67758 / 69302 ti = "17/67758/69302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67758/69302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67758 ÷ 217
    67758 ÷ 131072     		x = 0.516952514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69302 ÷ 217
    69302 ÷ 131072     		y = 0.528732299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516952514648438 × 2 - 1) × π
    0.033905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10651579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528732299804688 × 2 - 1) × π
    -0.057464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.180530363969131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10651579} λ = 0.10651579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180530363969131))-π/2
    2×atan(0.834827331640768)-π/2
    2×0.695619332528684-π/2
    1.39123866505737-1.57079632675     		φ = -0.17955766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10651579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.102905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17955766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.287896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67758 KachelY 69302 0.10651579 -0.17955766 6.102905 -10.287896
    Oben rechts KachelX + 1 67759 KachelY 69302 0.10656373 -0.17955766 6.105652 -10.287896
    Unten links KachelX 67758 KachelY + 1 69303 0.10651579 -0.17960483 6.102905 -10.290599
    Unten rechts KachelX + 1 67759 KachelY + 1 69303 0.10656373 -0.17960483 6.105652 -10.290599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17955766--0.17960483) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17955766--0.17960483) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10651579-0.10656373) × cos(-0.17955766) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983922788475321 × 6371000     		do = 300.515345772915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10651579-0.10656373) × cos(-0.17960483) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983914363084626 × 6371000     		du = 300.512772441728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17955766)-sin(-0.17960483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983922788475321-0.983914363084626)×R²
    abs(0.10656373-0.10651579)×8.4253906946774e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.4253906946774e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.4253906946774e-06×40589641000000     		ar = 90310.5060956678m²