Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67755 / 68377
↖ ↑ ↗
← S  7.779030°
E  6.094666°		 ← 302.62 m → S  7.779030°
E  6.097412°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
S  7.781751°
E  6.094666°		 ← 302.61 m →
91 578 m²		 S  7.781751°
E  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516933441162109 y=0.521678924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516933441162109 × 217)
    floor (0.516933441162109 × 131072)
    floor (67755.5)     		tx = 67755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521678924560547 × 217)
    floor (0.521678924560547 × 131072)
    floor (68377.5)     		ty = 68377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67755 / 68377 ti = "17/67755/68377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67755/68377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67755 ÷ 217
    67755 ÷ 131072     		x = 0.516929626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68377 ÷ 217
    68377 ÷ 131072     		y = 0.521675109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516929626464844 × 2 - 1) × π
    0.0338592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10637198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521675109863281 × 2 - 1) × π
    -0.0433502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.13618873182058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10637198} λ = 0.10637198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13618873182058))-π/2
    2×atan(0.872677914853829)-π/2
    2×0.717513321922625-π/2
    1.43502664384525-1.57079632675     		φ = -0.13576968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10637198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.094666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13576968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.779030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67755 KachelY 68377 0.10637198 -0.13576968 6.094666 -7.779030
    Oben rechts KachelX + 1 67756 KachelY 68377 0.10641992 -0.13576968 6.097412 -7.779030
    Unten links KachelX 67755 KachelY + 1 68378 0.10637198 -0.13581718 6.094666 -7.781751
    Unten rechts KachelX + 1 67756 KachelY + 1 68378 0.10641992 -0.13581718 6.097412 -7.781751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13576968--0.13581718) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dl = 302.622500000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13576968--0.13581718) × R
    4.75000000000059e-05 × 6371000     		dr = 302.622500000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10637198-0.10641992) × cos(-0.13576968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990797446235622 × 6371000     		do = 302.615043206602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10637198-0.10641992) × cos(-0.13581718) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990791015852851 × 6371000     		du = 302.613079202185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13576968)-sin(-0.13581718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990797446235622-0.990791015852851)×R²
    abs(0.10641992-0.10637198)×6.4303827710388e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.4303827710388e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.4303827710388e-06×40589641000000     		ar = 91577.8237540537m²