Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67754 / 44911
↖ ↑ ↗
← N 49.183499°
E  6.091919°		 ← 199.64 m → N 49.183499°
E  6.094666°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 49.181704°
E  6.091919°		 ← 199.65 m →
39 849 m²		 N 49.181704°
E  6.094666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516925811767578 y=0.342647552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516925811767578 × 217)
    floor (0.516925811767578 × 131072)
    floor (67754.5)     		tx = 67754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342647552490234 × 217)
    floor (0.342647552490234 × 131072)
    floor (44911.5)     		ty = 44911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67754 / 44911 ti = "17/67754/44911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67754/44911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67754 ÷ 217
    67754 ÷ 131072     		x = 0.516921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44911 ÷ 217
    44911 ÷ 131072     		y = 0.342643737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516921997070312 × 2 - 1) × π
    0.033843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10632404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342643737792969 × 2 - 1) × π
    0.314712524414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.988698554663658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10632404} λ = 0.10632404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988698554663658))-π/2
    2×atan(2.68773425596041)-π/2
    2×1.21460515830358-π/2
    2.42921031660715-1.57079632675     		φ = 0.85841399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10632404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85841399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.183499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67754 KachelY 44911 0.10632404 0.85841399 6.091919 49.183499
    Oben rechts KachelX + 1 67755 KachelY 44911 0.10637198 0.85841399 6.094666 49.183499
    Unten links KachelX 67754 KachelY + 1 44912 0.10632404 0.85838266 6.091919 49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 67755 KachelY + 1 44912 0.10637198 0.85838266 6.094666 49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85841399-0.85838266) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85841399-0.85838266) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10632404-0.10637198) × cos(0.85841399) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.653638592963854 × 6371000     		do = 199.638050948586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10632404-0.10637198) × cos(0.85838266) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 199.645292726484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85841399)-sin(0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653638592963854-0.653662303401283)×R²
    abs(0.10637198-0.10632404)×2.37104374297692e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37104374297692e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37104374297692e-05×40589641000000     		ar = 39849.1624728439m²