Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67752 / 72856
↖ ↑ ↗
← S 19.704657°
E  6.086426°		 ← 287.54 m → S 19.704657°
E  6.089173°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
S 19.707243°
E  6.086426°		 ← 287.54 m →
82 674 m²		 S 19.707243°
E  6.089173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516910552978516 y=0.555850982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516910552978516 × 217)
    floor (0.516910552978516 × 131072)
    floor (67752.5)     		tx = 67752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555850982666016 × 217)
    floor (0.555850982666016 × 131072)
    floor (72856.5)     		ty = 72856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67752 / 72856 ti = "17/67752/72856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67752/72856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67752 ÷ 217
    67752 ÷ 131072     		x = 0.51690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72856 ÷ 217
    72856 ÷ 131072     		y = 0.55584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.350898105218811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10622817} λ = 0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.350898105218811))-π/2
    2×atan(0.704055489780877)-π/2
    2×0.613442587033205-π/2
    1.22688517406641-1.57079632675     		φ = -0.34391115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34391115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.704657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67752 KachelY 72856 0.10622817 -0.34391115 6.086426 -19.704657
    Oben rechts KachelX + 1 67753 KachelY 72856 0.10627611 -0.34391115 6.089173 -19.704657
    Unten links KachelX 67752 KachelY + 1 72857 0.10622817 -0.34395628 6.086426 -19.707243
    Unten rechts KachelX + 1 67753 KachelY + 1 72857 0.10627611 -0.34395628 6.089173 -19.707243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34391115--0.34395628) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34391115--0.34395628) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10622817-0.10627611) × cos(-0.34391115) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941443140118968 × 6371000     		do = 287.540967738737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10622817-0.10627611) × cos(-0.34395628) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941427922597501 × 6371000     		du = 287.536319915982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34391115)-sin(-0.34395628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941443140118968-0.941427922597501)×R²
    abs(0.10627611-0.10622817)×1.5217521466937e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5217521466937e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5217521466937e-05×40589641000000     		ar = 82674.0396370432m²