Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67752 / 44907
↖ ↑ ↗
← N 49.190679°
E  6.086426°		 ← 199.61 m → N 49.190679°
E  6.089173°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 49.188884°
E  6.086426°		 ← 199.62 m →
39 843 m²		 N 49.188884°
E  6.089173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516910552978516 y=0.342617034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516910552978516 × 217)
    floor (0.516910552978516 × 131072)
    floor (67752.5)     		tx = 67752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342617034912109 × 217)
    floor (0.342617034912109 × 131072)
    floor (44907.5)     		ty = 44907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67752 / 44907 ti = "17/67752/44907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67752/44907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67752 ÷ 217
    67752 ÷ 131072     		x = 0.51690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44907 ÷ 217
    44907 ÷ 131072     		y = 0.342613220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342613220214844 × 2 - 1) × π
    0.314773559570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.988890302262138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10622817} λ = 0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988890302262138))-π/2
    2×atan(2.68824967196266)-π/2
    2×1.21466782057191-π/2
    2.42933564114382-1.57079632675     		φ = 0.85853931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85853931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.190679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67752 KachelY 44907 0.10622817 0.85853931 6.086426 49.190679
    Oben rechts KachelX + 1 67753 KachelY 44907 0.10627611 0.85853931 6.089173 49.190679
    Unten links KachelX 67752 KachelY + 1 44908 0.10622817 0.85850798 6.086426 49.188884
    Unten rechts KachelX + 1 67753 KachelY + 1 44908 0.10627611 0.85850798 6.089173 49.188884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85853931-0.85850798) × R
    3.13300000001071e-05 × 6371000     		dl = 199.603430000682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85853931-0.85850798) × R
    3.13300000001071e-05 × 6371000     		dr = 199.603430000682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10622817-0.10627611) × cos(0.85853931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653543744798454 × 6371000     		do = 199.609081877424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10622817-0.10627611) × cos(0.85850798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.65356745780211 × 6371000     		du = 199.616324439113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85853931)-sin(0.85850798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653543744798454-0.65356745780211)×R²
    abs(0.10627611-0.10622817)×2.37130036554456e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37130036554456e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37130036554456e-05×40589641000000     		ar = 39843.3802253944m²