Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67751 / 44896
↖ ↑ ↗
← N 49.210420°
E  6.083679°		 ← 199.53 m → N 49.210420°
E  6.086426°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.208626°
E  6.083679°		 ← 199.54 m →
39 802 m²		 N 49.208626°
E  6.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516902923583984 y=0.342533111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516902923583984 × 217)
    floor (0.516902923583984 × 131072)
    floor (67751.5)     		tx = 67751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342533111572266 × 217)
    floor (0.342533111572266 × 131072)
    floor (44896.5)     		ty = 44896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67751 / 44896 ti = "17/67751/44896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67751/44896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67751 ÷ 217
    67751 ÷ 131072     		x = 0.516899108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44896 ÷ 217
    44896 ÷ 131072     		y = 0.342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516899108886719 × 2 - 1) × π
    0.0337982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10618023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342529296875 × 2 - 1) × π
    0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10618023} λ = 0.10618023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989417608157959))-π/2
    2×atan(2.68966757566576)-π/2
    2×1.21484009492188-π/2
    2.42968018984375-1.57079632675     		φ = 0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10618023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.083679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67751 KachelY 44896 0.10618023 0.85888386 6.083679 49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 67752 KachelY 44896 0.10622817 0.85888386 6.086426 49.210420
    Unten links KachelX 67751 KachelY + 1 44897 0.10618023 0.85885255 6.083679 49.208626
    Unten rechts KachelX + 1 67752 KachelY + 1 44897 0.10622817 0.85885255 6.086426 49.208626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85888386-0.85885255) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85888386-0.85885255) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10618023-0.10622817) × cos(0.85888386) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 199.52941926839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10618023-0.10622817) × cos(0.85885255) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653306624908947 × 6371000     		du = 199.536659359702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85888386)-sin(0.85885255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.653306624908947)×R²
    abs(0.10622817-0.10618023)×2.37049153495317e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37049153495317e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37049153495317e-05×40589641000000     		ar = 39802.0545489593m²