Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6775 / 7815
↖ ↑ ↗
← N 79.553576°
W142.783813°		 ← 110.75 m → N 79.553576°
W142.778320°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
N 79.552581°
W142.783813°		 ← 110.76 m →
12 263 m²		 N 79.552581°
W142.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103385925292969 y=0.119255065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103385925292969 × 216)
    floor (0.103385925292969 × 65536)
    floor (6775.5)     		tx = 6775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119255065917969 × 216)
    floor (0.119255065917969 × 65536)
    floor (7815.5)     		ty = 7815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6775 / 7815 ti = "16/6775/7815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6775/7815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6775 ÷ 216
    6775 ÷ 65536     		x = 0.103378295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7815 ÷ 216
    7815 ÷ 65536     		y = 0.119247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103378295898438 × 2 - 1) × π
    -0.793243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49204766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119247436523438 × 2 - 1) × π
    0.761505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39233891243852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49204766} λ = -2.49204766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39233891243852))-π/2
    2×atan(10.9390495242563)-π/2
    2×1.47963408486486-π/2
    2.95926816972972-1.57079632675     		φ = 1.38847184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49204766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38847184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.553576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6775 KachelY 7815 -2.49204766 1.38847184 -142.783813 79.553576
    Oben rechts KachelX + 1 6776 KachelY 7815 -2.49195179 1.38847184 -142.778320 79.553576
    Unten links KachelX 6775 KachelY + 1 7816 -2.49204766 1.38845446 -142.783813 79.552581
    Unten rechts KachelX + 1 6776 KachelY + 1 7816 -2.49195179 1.38845446 -142.778320 79.552581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38847184-1.38845446) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38847184-1.38845446) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49204766--2.49195179) × cos(1.38847184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181316019368924 × 6371000     		do = 110.745607135619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49204766--2.49195179) × cos(1.38845446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18133311126601 × 6371000     		du = 110.756046657326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38847184)-sin(1.38845446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181316019368924-0.18133311126601)×R²
    abs(-2.49195179--2.49204766)×1.70918970866518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70918970866518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70918970866518e-05×40589641000000     		ar = 12263.2153459481m²