Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67748 / 69287
↖ ↑ ↗
← S 10.247357°
E  6.075439°		 ← 300.55 m → S 10.247357°
E  6.078186°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.250060°
E  6.075439°		 ← 300.55 m →
90 341 m²		 S 10.250060°
E  6.078186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516880035400391 y=0.528621673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516880035400391 × 217)
    floor (0.516880035400391 × 131072)
    floor (67748.5)     		tx = 67748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528621673583984 × 217)
    floor (0.528621673583984 × 131072)
    floor (69287.5)     		ty = 69287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67748 / 69287 ti = "17/67748/69287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67748/69287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67748 ÷ 217
    67748 ÷ 131072     		x = 0.516876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69287 ÷ 217
    69287 ÷ 131072     		y = 0.528617858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516876220703125 × 2 - 1) × π
    0.03375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10603642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528617858886719 × 2 - 1) × π
    -0.0572357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.179811310474831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10603642} λ = 0.10603642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.179811310474831))-π/2
    2×atan(0.835427833021157)-π/2
    2×0.695973101773489-π/2
    1.39194620354698-1.57079632675     		φ = -0.17885012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10603642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.075439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17885012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.247357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67748 KachelY 69287 0.10603642 -0.17885012 6.075439 -10.247357
    Oben rechts KachelX + 1 67749 KachelY 69287 0.10608436 -0.17885012 6.078186 -10.247357
    Unten links KachelX 67748 KachelY + 1 69288 0.10603642 -0.17889730 6.075439 -10.250060
    Unten rechts KachelX + 1 67749 KachelY + 1 69288 0.10608436 -0.17889730 6.078186 -10.250060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17885012--0.17889730) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17885012--0.17889730) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10603642-0.10608436) × cos(-0.17885012) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984048904837839 × 6371000     		do = 300.553864956264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10603642-0.10608436) × cos(-0.17889730) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984040510507755 × 6371000     		du = 300.551301111786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17885012)-sin(-0.17889730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984048904837839-0.984040510507755)×R²
    abs(0.10608436-0.10603642)×8.39433008459345e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.39433008459345e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.39433008459345e-06×40589641000000     		ar = 90341.231513932m²