Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67747 / 69283
↖ ↑ ↗
← S 10.236546°
E  6.072693°		 ← 300.50 m → S 10.236546°
E  6.075439°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.239249°
E  6.072693°		 ← 300.50 m →
90 306 m²		 S 10.239249°
E  6.075439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516872406005859 y=0.528591156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516872406005859 × 217)
    floor (0.516872406005859 × 131072)
    floor (67747.5)     		tx = 67747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528591156005859 × 217)
    floor (0.528591156005859 × 131072)
    floor (69283.5)     		ty = 69283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67747 / 69283 ti = "17/67747/69283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67747/69283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67747 ÷ 217
    67747 ÷ 131072     		x = 0.516868591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69283 ÷ 217
    69283 ÷ 131072     		y = 0.528587341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516868591308594 × 2 - 1) × π
    0.0337371826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10598849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528587341308594 × 2 - 1) × π
    -0.0571746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.17961956287635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10598849} λ = 0.10598849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17961956287635))-π/2
    2×atan(0.835588039660971)-π/2
    2×0.696067447889155-π/2
    1.39213489577831-1.57079632675     		φ = -0.17866143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10598849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.072693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17866143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.236546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67747 KachelY 69283 0.10598849 -0.17866143 6.072693 -10.236546
    Oben rechts KachelX + 1 67748 KachelY 69283 0.10603642 -0.17866143 6.075439 -10.236546
    Unten links KachelX 67747 KachelY + 1 69284 0.10598849 -0.17870860 6.072693 -10.239249
    Unten rechts KachelX + 1 67748 KachelY + 1 69284 0.10603642 -0.17870860 6.075439 -10.239249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17866143--0.17870860) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17866143--0.17870860) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10598849-0.10603642) × cos(-0.17866143) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984082454922157 × 6371000     		do = 300.501416122423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10598849-0.10603642) × cos(-0.17870860) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984074071130165 × 6371000     		du = 300.498856030681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17866143)-sin(-0.17870860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984082454922157-0.984074071130165)×R²
    abs(0.10603642-0.10598849)×8.38379199241679e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.38379199241679e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.38379199241679e-06×40589641000000     		ar = 90306.3219454545m²