Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67746 / 68768
↖ ↑ ↗
← S  8.841651°
E  6.069946°		 ← 301.80 m → S  8.841651°
E  6.072693°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.844365°
E  6.069946°		 ← 301.79 m →
91 080 m²		 S  8.844365°
E  6.072693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516864776611328 y=0.524662017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516864776611328 × 217)
    floor (0.516864776611328 × 131072)
    floor (67746.5)     		tx = 67746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524662017822266 × 217)
    floor (0.524662017822266 × 131072)
    floor (68768.5)     		ty = 68768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67746 / 68768 ti = "17/67746/68768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67746/68768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67746 ÷ 217
    67746 ÷ 131072     		x = 0.516860961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68768 ÷ 217
    68768 ÷ 131072     		y = 0.524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516860961914062 × 2 - 1) × π
    0.033721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10594055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10594055} λ = 0.10594055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154932059572021))-π/2
    2×atan(0.856473364673908)-π/2
    2×0.708240201714253-π/2
    1.41648040342851-1.57079632675     		φ = -0.15431592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10594055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.069946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15431592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.841651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67746 KachelY 68768 0.10594055 -0.15431592 6.069946 -8.841651
    Oben rechts KachelX + 1 67747 KachelY 68768 0.10598849 -0.15431592 6.072693 -8.841651
    Unten links KachelX 67746 KachelY + 1 68769 0.10594055 -0.15436329 6.069946 -8.844365
    Unten rechts KachelX + 1 67747 KachelY + 1 68769 0.10598849 -0.15436329 6.072693 -8.844365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15431592--0.15436329) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15431592--0.15436329) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10594055-0.10598849) × cos(-0.15431592) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988116907926707 × 6371000     		do = 301.79633781009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10594055-0.10598849) × cos(-0.15436329) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988109625850873 × 6371000     		du = 301.79411367669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15431592)-sin(-0.15436329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988116907926707-0.988109625850873)×R²
    abs(0.10598849-0.10594055)×7.28207583333695e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.28207583333695e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.28207583333695e-06×40589641000000     		ar = 91080.069859741m²