Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67745 / 68765
↖ ↑ ↗
← S  8.833509°
E  6.067200°		 ← 301.80 m → S  8.833509°
E  6.069946°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.836223°
E  6.067200°		 ← 301.80 m →
91 082 m²		 S  8.836223°
E  6.069946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516857147216797 y=0.524639129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516857147216797 × 217)
    floor (0.516857147216797 × 131072)
    floor (67745.5)     		tx = 67745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524639129638672 × 217)
    floor (0.524639129638672 × 131072)
    floor (68765.5)     		ty = 68765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67745 / 68765 ti = "17/67745/68765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67745/68765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67745 ÷ 217
    67745 ÷ 131072     		x = 0.516853332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68765 ÷ 217
    68765 ÷ 131072     		y = 0.524635314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516853332519531 × 2 - 1) × π
    0.0337066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10589261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524635314941406 × 2 - 1) × π
    -0.0492706298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.154788248873161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10589261} λ = 0.10589261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154788248873161))-π/2
    2×atan(0.856596543564046)-π/2
    2×0.70831125339079-π/2
    1.41662250678158-1.57079632675     		φ = -0.15417382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10589261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.067200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15417382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.833509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67745 KachelY 68765 0.10589261 -0.15417382 6.067200 -8.833509
    Oben rechts KachelX + 1 67746 KachelY 68765 0.10594055 -0.15417382 6.069946 -8.833509
    Unten links KachelX 67745 KachelY + 1 68766 0.10589261 -0.15422119 6.067200 -8.836223
    Unten rechts KachelX + 1 67746 KachelY + 1 68766 0.10594055 -0.15422119 6.069946 -8.836223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15417382--0.15422119) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dl = 301.79427000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15417382--0.15422119) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dr = 301.79427000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10589261-0.10594055) × cos(-0.15417382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98813873931499 × 6371000     		do = 301.803005677925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10589261-0.10594055) × cos(-0.15422119) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988131463890495 × 6371000     		du = 301.800783576014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15417382)-sin(-0.15422119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98813873931499-0.988131463890495)×R²
    abs(0.10594055-0.10589261)×7.27542449574514e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.27542449574514e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.27542449574514e-06×40589641000000     		ar = 91082.0824906221m²