Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67745 / 44961
↖ ↑ ↗
← N 49.093654°
E  6.067200°		 ← 200 m → N 49.093654°
E  6.069946°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 49.091855°
E  6.067200°		 ← 200.01 m →
39 998 m²		 N 49.091855°
E  6.069946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516857147216797 y=0.343029022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516857147216797 × 217)
    floor (0.516857147216797 × 131072)
    floor (67745.5)     		tx = 67745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343029022216797 × 217)
    floor (0.343029022216797 × 131072)
    floor (44961.5)     		ty = 44961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67745 / 44961 ti = "17/67745/44961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67745/44961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67745 ÷ 217
    67745 ÷ 131072     		x = 0.516853332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44961 ÷ 217
    44961 ÷ 131072     		y = 0.343025207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516853332519531 × 2 - 1) × π
    0.0337066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10589261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343025207519531 × 2 - 1) × π
    0.313949584960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.986301709682655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10589261} λ = 0.10589261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986301709682655))-π/2
    2×atan(2.68129988777068)-π/2
    2×1.21382111253942-π/2
    2.42764222507884-1.57079632675     		φ = 0.85684590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10589261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.067200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85684590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.093654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67745 KachelY 44961 0.10589261 0.85684590 6.067200 49.093654
    Oben rechts KachelX + 1 67746 KachelY 44961 0.10594055 0.85684590 6.069946 49.093654
    Unten links KachelX 67745 KachelY + 1 44962 0.10589261 0.85681451 6.067200 49.091855
    Unten rechts KachelX + 1 67746 KachelY + 1 44962 0.10594055 0.85681451 6.069946 49.091855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85684590-0.85681451) × R
    3.13900000000755e-05 × 6371000     		dl = 199.985690000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85684590-0.85681451) × R
    3.13900000000755e-05 × 6371000     		dr = 199.985690000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10589261-0.10594055) × cos(0.85684590) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.654824530093996 × 6371000     		do = 200.000266674095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10589261-0.10594055) × cos(0.85681451) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.654848253735203 × 6371000     		du = 200.007512484767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85684590)-sin(0.85681451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654824530093996-0.654848253735203)×R²
    abs(0.10594055-0.10589261)×2.3723641207507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3723641207507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3723641207507e-05×40589641000000     		ar = 39997.9158636777m²