Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67744 / 68769
↖ ↑ ↗
← S  8.844365°
E  6.064453°		 ← 301.79 m → S  8.844365°
E  6.067200°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.847079°
E  6.064453°		 ← 301.79 m →
91 079 m²		 S  8.847079°
E  6.067200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516849517822266 y=0.524669647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516849517822266 × 217)
    floor (0.516849517822266 × 131072)
    floor (67744.5)     		tx = 67744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524669647216797 × 217)
    floor (0.524669647216797 × 131072)
    floor (68769.5)     		ty = 68769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67744 / 68769 ti = "17/67744/68769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67744/68769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67744 ÷ 217
    67744 ÷ 131072     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68769 ÷ 217
    68769 ÷ 131072     		y = 0.524665832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524665832519531 × 2 - 1) × π
    -0.0493316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154979996471642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154979996471642))-π/2
    2×atan(0.856432308980248)-π/2
    2×0.708216518171012-π/2
    1.41643303634202-1.57079632675     		φ = -0.15436329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15436329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.844365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67744 KachelY 68769 0.10584467 -0.15436329 6.064453 -8.844365
    Oben rechts KachelX + 1 67745 KachelY 68769 0.10589261 -0.15436329 6.067200 -8.844365
    Unten links KachelX 67744 KachelY + 1 68770 0.10584467 -0.15441066 6.064453 -8.847079
    Unten rechts KachelX + 1 67745 KachelY + 1 68770 0.10589261 -0.15441066 6.067200 -8.847079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15436329--0.15441066) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dl = 301.79427000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15436329--0.15441066) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dr = 301.79427000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10589261) × cos(-0.15436329) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988109625850873 × 6371000     		do = 301.794113676603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10589261) × cos(-0.15441066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988102341557804 × 6371000     		du = 301.791888866002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15436329)-sin(-0.15441066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988109625850873-0.988102341557804)×R²
    abs(0.10589261-0.10584467)×7.28429306928735e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.28429306928735e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.28429306928735e-06×40589641000000     		ar = 91079.3985268223m²