Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67744 / 68766
↖ ↑ ↗
← S  8.836223°
E  6.064453°		 ← 301.80 m → S  8.836223°
E  6.067200°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.838937°
E  6.064453°		 ← 301.80 m →
91 081 m²		 S  8.838937°
E  6.067200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516849517822266 y=0.524646759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516849517822266 × 217)
    floor (0.516849517822266 × 131072)
    floor (67744.5)     		tx = 67744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524646759033203 × 217)
    floor (0.524646759033203 × 131072)
    floor (68766.5)     		ty = 68766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67744 / 68766 ti = "17/67744/68766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67744/68766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67744 ÷ 217
    67744 ÷ 131072     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68766 ÷ 217
    68766 ÷ 131072     		y = 0.524642944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524642944335938 × 2 - 1) × π
    -0.049285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.154836185772781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154836185772781))-π/2
    2×atan(0.856555481965713)-π/2
    2×0.708287569324194-π/2
    1.41657513864839-1.57079632675     		φ = -0.15422119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15422119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.836223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67744 KachelY 68766 0.10584467 -0.15422119 6.064453 -8.836223
    Oben rechts KachelX + 1 67745 KachelY 68766 0.10589261 -0.15422119 6.067200 -8.836223
    Unten links KachelX 67744 KachelY + 1 68767 0.10584467 -0.15426856 6.064453 -8.838937
    Unten rechts KachelX + 1 67745 KachelY + 1 68767 0.10589261 -0.15426856 6.067200 -8.838937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15422119--0.15426856) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15422119--0.15426856) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10589261) × cos(-0.15422119) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988131463890495 × 6371000     		do = 301.800783576014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10589261) × cos(-0.15426856) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988124186248714 × 6371000     		du = 301.798560796888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15422119)-sin(-0.15426856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988131463890495-0.988124186248714)×R²
    abs(0.10589261-0.10584467)×7.27764178065637e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.27764178065637e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.27764178065637e-06×40589641000000     		ar = 91081.4117707821m²