Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67744 / 44772
↖ ↑ ↗
← N 49.432413°
E  6.064453°		 ← 198.63 m → N 49.432413°
E  6.067200°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
N 49.430626°
E  6.064453°		 ← 198.64 m →
39 459 m²		 N 49.430626°
E  6.067200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516849517822266 y=0.341587066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516849517822266 × 217)
    floor (0.516849517822266 × 131072)
    floor (67744.5)     		tx = 67744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341587066650391 × 217)
    floor (0.341587066650391 × 131072)
    floor (44772.5)     		ty = 44772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67744 / 44772 ti = "17/67744/44772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67744/44772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67744 ÷ 217
    67744 ÷ 131072     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44772 ÷ 217
    44772 ÷ 131072     		y = 0.341583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341583251953125 × 2 - 1) × π
    0.31683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995361783710846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995361783710846))-π/2
    2×atan(2.70570304351704)-π/2
    2×1.216777341753-π/2
    2.433554683506-1.57079632675     		φ = 0.86275836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86275836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.432413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67744 KachelY 44772 0.10584467 0.86275836 6.064453 49.432413
    Oben rechts KachelX + 1 67745 KachelY 44772 0.10589261 0.86275836 6.067200 49.432413
    Unten links KachelX 67744 KachelY + 1 44773 0.10584467 0.86272718 6.064453 49.430626
    Unten rechts KachelX + 1 67745 KachelY + 1 44773 0.10589261 0.86272718 6.067200 49.430626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86275836-0.86272718) × R
    3.11799999999085e-05 × 6371000     		dl = 198.647779999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86275836-0.86272718) × R
    3.11799999999085e-05 × 6371000     		dr = 198.647779999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10589261) × cos(0.86275836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.650344586153146 × 6371000     		do = 198.631976480803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10589261) × cos(0.86272718) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.650368271391477 × 6371000     		du = 198.639210562247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86275836)-sin(0.86272718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650344586153146-0.650368271391477)×R²
    abs(0.10589261-0.10584467)×2.36852383309616e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36852383309616e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36852383309616e-05×40589641000000     		ar = 39458.5196851717m²