Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67743 / 44927
↖ ↑ ↗
← N 49.154766°
E  6.061707°		 ← 199.71 m → N 49.154766°
E  6.064453°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
N 49.152970°
E  6.061707°		 ← 199.72 m →
39 889 m²		 N 49.152970°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516841888427734 y=0.342769622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516841888427734 × 217)
    floor (0.516841888427734 × 131072)
    floor (67743.5)     		tx = 67743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342769622802734 × 217)
    floor (0.342769622802734 × 131072)
    floor (44927.5)     		ty = 44927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67743 / 44927 ti = "17/67743/44927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67743/44927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67743 ÷ 217
    67743 ÷ 131072     		x = 0.516838073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44927 ÷ 217
    44927 ÷ 131072     		y = 0.342765808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516838073730469 × 2 - 1) × π
    0.0336761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10579674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342765808105469 × 2 - 1) × π
    0.314468383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.987931564269737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10579674} λ = 0.10579674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987931564269737))-π/2
    2×atan(2.68567357996505)-π/2
    2×1.2143544182874-π/2
    2.42870883657479-1.57079632675     		φ = 0.85791251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10579674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.061707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85791251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.154766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67743 KachelY 44927 0.10579674 0.85791251 6.061707 49.154766
    Oben rechts KachelX + 1 67744 KachelY 44927 0.10584467 0.85791251 6.064453 49.154766
    Unten links KachelX 67743 KachelY + 1 44928 0.10579674 0.85788116 6.061707 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 67744 KachelY + 1 44928 0.10584467 0.85788116 6.064453 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85791251-0.85788116) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85791251-0.85788116) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10579674-0.10584467) × cos(0.85791251) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654018034251751 × 6371000     		do = 199.712274595731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10579674-0.10584467) × cos(0.85788116) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 199.719516346011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85791251)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654018034251751-0.654041749545626)×R²
    abs(0.10584467-0.10579674)×2.37152938749041e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37152938749041e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37152938749041e-05×40589641000000     		ar = 39889.4255642031m²