Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67740 / 69412
↖ ↑ ↗
← S 10.585022°
E  6.053467°		 ← 300.17 m → S 10.585022°
E  6.056213°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 10.587721°
E  6.053467°		 ← 300.16 m →
90 110 m²		 S 10.587721°
E  6.056213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516819000244141 y=0.529575347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516819000244141 × 217)
    floor (0.516819000244141 × 131072)
    floor (67740.5)     		tx = 67740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529575347900391 × 217)
    floor (0.529575347900391 × 131072)
    floor (69412.5)     		ty = 69412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67740 / 69412 ti = "17/67740/69412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67740/69412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67740 ÷ 217
    67740 ÷ 131072     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69412 ÷ 217
    69412 ÷ 131072     		y = 0.529571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.05914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.185803422927338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185803422927338))-π/2
    2×atan(0.830436823777737)-π/2
    2×0.693026423835283-π/2
    1.38605284767057-1.57079632675     		φ = -0.18474348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18474348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.585022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67740 KachelY 69412 0.10565293 -0.18474348 6.053467 -10.585022
    Oben rechts KachelX + 1 67741 KachelY 69412 0.10570086 -0.18474348 6.056213 -10.585022
    Unten links KachelX 67740 KachelY + 1 69413 0.10565293 -0.18479060 6.053467 -10.587721
    Unten rechts KachelX + 1 67741 KachelY + 1 69413 0.10570086 -0.18479060 6.056213 -10.587721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18474348--0.18479060) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18474348--0.18479060) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10570086) × cos(-0.18474348) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.982983404254658 × 6371000     		do = 300.165807779436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10570086) × cos(-0.18479060) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.982974747483999 × 6371000     		du = 300.163164330374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18474348)-sin(-0.18479060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982983404254658-0.982974747483999)×R²
    abs(0.10570086-0.10565293)×8.65677065886583e-06×R²
    4.79299999999877e-05×8.65677065886583e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×8.65677065886583e-06×40589641000000     		ar = 90109.8349803923m²