Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67740 / 47760
↖ ↑ ↗
← N 43.802819°
E  6.053467°		 ← 220.39 m → N 43.802819°
E  6.056213°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 43.800836°
E  6.053467°		 ← 220.40 m →
48 582 m²		 N 43.800836°
E  6.056213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516819000244141 y=0.364383697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516819000244141 × 217)
    floor (0.516819000244141 × 131072)
    floor (67740.5)     		tx = 67740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364383697509766 × 217)
    floor (0.364383697509766 × 131072)
    floor (47760.5)     		ty = 47760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67740 / 47760 ti = "17/67740/47760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67740/47760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67740 ÷ 217
    67740 ÷ 131072     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47760 ÷ 217
    47760 ÷ 131072     		y = 0.3643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3643798828125 × 2 - 1) × π
    0.271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852126327646118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852126327646118))-π/2
    2×atan(2.34462700054686)-π/2
    2×1.16764986753945-π/2
    2.3352997350789-1.57079632675     		φ = 0.76450341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76450341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.802819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67740 KachelY 47760 0.10565293 0.76450341 6.053467 43.802819
    Oben rechts KachelX + 1 67741 KachelY 47760 0.10570086 0.76450341 6.056213 43.802819
    Unten links KachelX 67740 KachelY + 1 47761 0.10565293 0.76446881 6.053467 43.800836
    Unten rechts KachelX + 1 67741 KachelY + 1 47761 0.10570086 0.76446881 6.056213 43.800836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76450341-0.76446881) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76450341-0.76446881) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10570086) × cos(0.76450341) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.721726175423558 × 6371000     		do = 220.387770031417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10570086) × cos(0.76446881) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.721750124373937 × 6371000     		du = 220.395083131521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76450341)-sin(0.76446881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721726175423558-0.721750124373937)×R²
    abs(0.10570086-0.10565293)×2.39489503789381e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.39489503789381e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.39489503789381e-05×40589641000000     		ar = 48582.3367495938m²