Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6774 / 7818
↖ ↑ ↗
← N 79.550588°
W142.789307°		 ← 110.79 m → N 79.550588°
W142.783813°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
N 79.549592°
W142.789307°		 ← 110.80 m →
12 275 m²		 N 79.549592°
W142.783813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103370666503906 y=0.119300842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103370666503906 × 216)
    floor (0.103370666503906 × 65536)
    floor (6774.5)     		tx = 6774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119300842285156 × 216)
    floor (0.119300842285156 × 65536)
    floor (7818.5)     		ty = 7818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6774 / 7818 ti = "16/6774/7818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6774/7818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6774 ÷ 216
    6774 ÷ 65536     		x = 0.103363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7818 ÷ 216
    7818 ÷ 65536     		y = 0.119293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.79327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49214354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119293212890625 × 2 - 1) × π
    0.76141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3920512910408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49214354} λ = -2.49214354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3920512910408))-π/2
    2×atan(10.9359036719713)-π/2
    2×1.47960800599374-π/2
    2.95921601198749-1.57079632675     		φ = 1.38841969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49214354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38841969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.550588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6774 KachelY 7818 -2.49214354 1.38841969 -142.789307 79.550588
    Oben rechts KachelX + 1 6775 KachelY 7818 -2.49204766 1.38841969 -142.783813 79.550588
    Unten links KachelX 6774 KachelY + 1 7819 -2.49214354 1.38840230 -142.789307 79.549592
    Unten rechts KachelX + 1 6775 KachelY + 1 7819 -2.49204766 1.38840230 -142.783813 79.549592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38841969-1.38840230) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38841969-1.38840230) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49214354--2.49204766) × cos(1.38841969) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18136730473001 × 6371000     		do = 110.788486517865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49214354--2.49204766) × cos(1.38840230) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181384406296849 × 6371000     		du = 110.798933035279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38841969)-sin(1.38840230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18136730473001-0.181384406296849)×R²
    abs(-2.49204766--2.49214354)×1.71015668394559e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71015668394559e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71015668394559e-05×40589641000000     		ar = 12275.0223475664m²