Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6774 / 6263
↖ ↑ ↗
← S 68.512143°
E117.685547°		 ← 1 789.97 m → S 68.512143°
E117.729492°		 →
↑
1 789.30 m
↓
↑
1 789.30 m
↓
S 68.528235°
E117.685547°		 ← 1 788.69 m →
3 201 634 m²		 S 68.528235°
E117.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82696533203125 y=0.76458740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82696533203125 × 213)
    floor (0.82696533203125 × 8192)
    floor (6774.5)     		tx = 6774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76458740234375 × 213)
    floor (0.76458740234375 × 8192)
    floor (6263.5)     		ty = 6263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6774 / 6263 ti = "13/6774/6263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6774/6263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6774 ÷ 213
    6774 ÷ 8192     		x = 0.826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6263 ÷ 213
    6263 ÷ 8192     		y = 0.7645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826904296875 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66206818362659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05400027} λ = 2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66206818362659))-π/2
    2×atan(0.189746144144571)-π/2
    2×0.187516924152415-π/2
    0.37503384830483-1.57079632675     		φ = -1.19576248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19576248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.512143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6774 KachelY 6263 2.05400027 -1.19576248 117.685547 -68.512143
    Oben rechts KachelX + 1 6775 KachelY 6263 2.05476727 -1.19576248 117.729492 -68.512143
    Unten links KachelX 6774 KachelY + 1 6264 2.05400027 -1.19604333 117.685547 -68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 6775 KachelY + 1 6264 2.05476727 -1.19604333 117.729492 -68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19576248--1.19604333) × R
    0.000280849999999999 × 6371000     		dl = 1789.29534999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19576248--1.19604333) × R
    0.000280849999999999 × 6371000     		dr = 1789.29534999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05400027-2.05476727) × cos(-1.19576248) × R
    0.000767000000000184 × 0.366304023576868 × 6371000     		do = 1789.96549053814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05400027-2.05476727) × cos(-1.19604333) × R
    0.000767000000000184 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 1788.68841805497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19576248)-sin(-1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366304023576868-0.366042679550149)×R²
    abs(2.05476727-2.05400027)×0.00026134402671929×R²
    0.000767000000000184×0.00026134402671929×6371000²
    0.000767000000000184×0.00026134402671929×40589641000000     		ar = 3201634.41999528m²