Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67735 / 69271
↖ ↑ ↗
← S 10.204110°
E  6.039734°		 ← 300.59 m → S 10.204110°
E  6.042481°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.206813°
E  6.039734°		 ← 300.59 m →
90 334 m²		 S 10.206813°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516780853271484 y=0.528499603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516780853271484 × 217)
    floor (0.516780853271484 × 131072)
    floor (67735.5)     		tx = 67735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528499603271484 × 217)
    floor (0.528499603271484 × 131072)
    floor (69271.5)     		ty = 69271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67735 / 69271 ti = "17/67735/69271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67735/69271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67735 ÷ 217
    67735 ÷ 131072     		x = 0.516777038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69271 ÷ 217
    69271 ÷ 131072     		y = 0.528495788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516777038574219 × 2 - 1) × π
    0.0335540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10541324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528495788574219 × 2 - 1) × π
    -0.0569915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.17904432008091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10541324} λ = 0.10541324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17904432008091))-π/2
    2×atan(0.836068843937082)-π/2
    2×0.696350505513077-π/2
    1.39270101102615-1.57079632675     		φ = -0.17809532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10541324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.039734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17809532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.204110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67735 KachelY 69271 0.10541324 -0.17809532 6.039734 -10.204110
    Oben rechts KachelX + 1 67736 KachelY 69271 0.10546118 -0.17809532 6.042481 -10.204110
    Unten links KachelX 67735 KachelY + 1 69272 0.10541324 -0.17814249 6.039734 -10.206813
    Unten rechts KachelX + 1 67736 KachelY + 1 69272 0.10546118 -0.17814249 6.042481 -10.206813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17809532--0.17814249) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17809532--0.17814249) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10541324-0.10546118) × cos(-0.17809532) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984182902033419 × 6371000     		do = 300.594791148881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10541324-0.10546118) × cos(-0.17814249) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984174544521013 × 6371000     		du = 300.59223854947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17809532)-sin(-0.17814249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984182902033419-0.984174544521013)×R²
    abs(0.10546118-0.10541324)×8.35751240635396e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.35751240635396e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.35751240635396e-06×40589641000000     		ar = 90334.3841407841m²