Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67735 / 44904
↖ ↑ ↗
← N 49.196064°
E  6.039734°		 ← 199.59 m → N 49.196064°
E  6.042481°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 49.194269°
E  6.039734°		 ← 199.59 m →
39 839 m²		 N 49.194269°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516780853271484 y=0.342594146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516780853271484 × 217)
    floor (0.516780853271484 × 131072)
    floor (67735.5)     		tx = 67735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342594146728516 × 217)
    floor (0.342594146728516 × 131072)
    floor (44904.5)     		ty = 44904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67735 / 44904 ti = "17/67735/44904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67735/44904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67735 ÷ 217
    67735 ÷ 131072     		x = 0.516777038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44904 ÷ 217
    44904 ÷ 131072     		y = 0.34259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516777038574219 × 2 - 1) × π
    0.0335540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10541324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34259033203125 × 2 - 1) × π
    0.3148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.989034112960999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10541324} λ = 0.10541324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989034112960999))-π/2
    2×atan(2.68863629882657)-π/2
    2×1.21471481130545-π/2
    2.42942962261091-1.57079632675     		φ = 0.85863330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10541324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.039734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85863330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.196064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67735 KachelY 44904 0.10541324 0.85863330 6.039734 49.196064
    Oben rechts KachelX + 1 67736 KachelY 44904 0.10546118 0.85863330 6.042481 49.196064
    Unten links KachelX 67735 KachelY + 1 44905 0.10541324 0.85860197 6.039734 49.194269
    Unten rechts KachelX + 1 67736 KachelY + 1 44905 0.10546118 0.85860197 6.042481 49.194269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85863330-0.85860197) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85863330-0.85860197) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10541324-0.10546118) × cos(0.85863330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653472601938592 × 6371000     		do = 199.587353016805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10541324-0.10546118) × cos(0.85860197) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653496316866672 × 6371000     		du = 199.594596166263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85863330)-sin(0.85860197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653472601938592-0.653496316866672)×R²
    abs(0.10546118-0.10541324)×2.37149280801763e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37149280801763e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37149280801763e-05×40589641000000     		ar = 39839.0431287559m²