Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67734 / 44981
↖ ↑ ↗
← N 49.057670°
E  6.036988°		 ← 200.10 m → N 49.057670°
E  6.039734°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.055870°
E  6.036988°		 ← 200.11 m →
40 057 m²		 N 49.055870°
E  6.039734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516773223876953 y=0.343181610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516773223876953 × 217)
    floor (0.516773223876953 × 131072)
    floor (67734.5)     		tx = 67734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343181610107422 × 217)
    floor (0.343181610107422 × 131072)
    floor (44981.5)     		ty = 44981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67734 / 44981 ti = "17/67734/44981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67734/44981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67734 ÷ 217
    67734 ÷ 131072     		x = 0.516769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44981 ÷ 217
    44981 ÷ 131072     		y = 0.343177795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516769409179688 × 2 - 1) × π
    0.033538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10536531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343177795410156 × 2 - 1) × π
    0.313644409179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.985342971690254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10536531} λ = 0.10536531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985342971690254))-π/2
    2×atan(2.67873045560218)-π/2
    2×1.21350709622802-π/2
    2.42701419245605-1.57079632675     		φ = 0.85621787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10536531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.036988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85621787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.057670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67734 KachelY 44981 0.10536531 0.85621787 6.036988 49.057670
    Oben rechts KachelX + 1 67735 KachelY 44981 0.10541324 0.85621787 6.039734 49.057670
    Unten links KachelX 67734 KachelY + 1 44982 0.10536531 0.85618645 6.036988 49.055870
    Unten rechts KachelX + 1 67735 KachelY + 1 44982 0.10541324 0.85618645 6.039734 49.055870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85621787-0.85618645) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85621787-0.85618645) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10536531-0.10541324) × cos(0.85621787) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.655299054030343 × 6371000     		do = 200.103449395792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10536531-0.10541324) × cos(0.85618645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.655322787417988 × 6371000     		du = 200.110696671222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85621787)-sin(0.85618645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655299054030343-0.655322787417988)×R²
    abs(0.10541324-0.10536531)×2.37333876447199e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37333876447199e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37333876447199e-05×40589641000000     		ar = 40056.797542741m²