Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67733 / 46896
↖ ↑ ↗
← N 45.490946°
E  6.034241°		 ← 214.11 m → N 45.490946°
E  6.036988°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
N 45.489020°
E  6.034241°		 ← 214.12 m →
45 834 m²		 N 45.489020°
E  6.036988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516765594482422 y=0.357791900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516765594482422 × 217)
    floor (0.516765594482422 × 131072)
    floor (67733.5)     		tx = 67733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357791900634766 × 217)
    floor (0.357791900634766 × 131072)
    floor (46896.5)     		ty = 46896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67733 / 46896 ti = "17/67733/46896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67733/46896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67733 ÷ 217
    67733 ÷ 131072     		x = 0.516761779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46896 ÷ 217
    46896 ÷ 131072     		y = 0.3577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516761779785156 × 2 - 1) × π
    0.0335235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10531737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3577880859375 × 2 - 1) × π
    0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10531737} λ = 0.10531737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893543808917847))-π/2
    2×atan(2.44377459443018)-π/2
    2×1.18238155447964-π/2
    2.36476310895927-1.57079632675     		φ = 0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10531737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.034241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67733 KachelY 46896 0.10531737 0.79396678 6.034241 45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 67734 KachelY 46896 0.10536531 0.79396678 6.036988 45.490946
    Unten links KachelX 67733 KachelY + 1 46897 0.10531737 0.79393318 6.034241 45.489020
    Unten rechts KachelX + 1 67734 KachelY + 1 46897 0.10536531 0.79393318 6.036988 45.489020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79396678-0.79393318) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dl = 214.06559999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79396678-0.79393318) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dr = 214.06559999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10531737-0.10536531) × cos(0.79396678) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 214.110154026471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10531737-0.10536531) × cos(0.79393318) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.701045931368871 × 6371000     		du = 214.117472362372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79396678)-sin(0.79393318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.701045931368871)×R²
    abs(0.10536531-0.10531737)×2.39610973893356e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39610973893356e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39610973893356e-05×40589641000000     		ar = 45834.4018940679m²