Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67732 / 44980
↖ ↑ ↗
← N 49.059470°
E  6.031494°		 ← 200.14 m → N 49.059470°
E  6.034241°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 49.057670°
E  6.031494°		 ← 200.15 m →
40 051 m²		 N 49.057670°
E  6.034241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516757965087891 y=0.343173980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516757965087891 × 217)
    floor (0.516757965087891 × 131072)
    floor (67732.5)     		tx = 67732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343173980712891 × 217)
    floor (0.343173980712891 × 131072)
    floor (44980.5)     		ty = 44980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67732 / 44980 ti = "17/67732/44980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67732/44980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67732 ÷ 217
    67732 ÷ 131072     		x = 0.516754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44980 ÷ 217
    44980 ÷ 131072     		y = 0.343170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516754150390625 × 2 - 1) × π
    0.03350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10526943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343170166015625 × 2 - 1) × π
    0.31365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.985390908589874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10526943} λ = 0.10526943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985390908589874))-π/2
    2×atan(2.67885886871298)-π/2
    2×1.21352280244622-π/2
    2.42704560489245-1.57079632675     		φ = 0.85624928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10526943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.031494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85624928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.059470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67732 KachelY 44980 0.10526943 0.85624928 6.031494 49.059470
    Oben rechts KachelX + 1 67733 KachelY 44980 0.10531737 0.85624928 6.034241 49.059470
    Unten links KachelX 67732 KachelY + 1 44981 0.10526943 0.85621787 6.031494 49.057670
    Unten rechts KachelX + 1 67733 KachelY + 1 44981 0.10531737 0.85621787 6.034241 49.057670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85624928-0.85621787) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85624928-0.85621787) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10526943-0.10531737) × cos(0.85624928) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655275327549678 × 6371000     		do = 200.137951820587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10526943-0.10531737) × cos(0.85621787) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.655299054030343 × 6371000     		du = 200.145198498502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85624928)-sin(0.85621787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655275327549678-0.655299054030343)×R²
    abs(0.10531737-0.10526943)×2.3726480665287e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3726480665287e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3726480665287e-05×40589641000000     		ar = 40050.9530487474m²