Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67731 / 68442
↖ ↑ ↗
← S  7.955877°
E  6.028747°		 ← 302.49 m → S  7.955877°
E  6.031494°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.958597°
E  6.028747°		 ← 302.48 m →
91 500 m²		 S  7.958597°
E  6.031494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516750335693359 y=0.522174835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516750335693359 × 217)
    floor (0.516750335693359 × 131072)
    floor (67731.5)     		tx = 67731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522174835205078 × 217)
    floor (0.522174835205078 × 131072)
    floor (68442.5)     		ty = 68442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67731 / 68442 ti = "17/67731/68442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67731/68442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67731 ÷ 217
    67731 ÷ 131072     		x = 0.516746520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68442 ÷ 217
    68442 ÷ 131072     		y = 0.522171020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516746520996094 × 2 - 1) × π
    0.0334930419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10522149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522171020507812 × 2 - 1) × π
    -0.044342041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.139304630295883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10522149} λ = 0.10522149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139304630295883))-π/2
    2×atan(0.869962971010771)-π/2
    2×0.71597003770834-π/2
    1.43194007541668-1.57079632675     		φ = -0.13885625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10522149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.028747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13885625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.955877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67731 KachelY 68442 0.10522149 -0.13885625 6.028747 -7.955877
    Oben rechts KachelX + 1 67732 KachelY 68442 0.10526943 -0.13885625 6.031494 -7.955877
    Unten links KachelX 67731 KachelY + 1 68443 0.10522149 -0.13890373 6.028747 -7.958597
    Unten rechts KachelX + 1 67732 KachelY + 1 68443 0.10526943 -0.13890373 6.031494 -7.958597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13885625--0.13890373) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13885625--0.13890373) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10522149-0.10526943) × cos(-0.13885625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990374950932794 × 6371000     		do = 302.486002266089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10522149-0.10526943) × cos(-0.13890373) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990368378087636 × 6371000     		du = 302.483994749993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13885625)-sin(-0.13890373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990374950932794-0.990368378087636)×R²
    abs(0.10526943-0.10522149)×6.57284515781509e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.57284515781509e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.57284515781509e-06×40589641000000     		ar = 91500.2238397081m²