Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67731 / 44870
↖ ↑ ↗
← N 49.257050°
E  6.028747°		 ← 199.34 m → N 49.257050°
E  6.031494°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.255258°
E  6.028747°		 ← 199.35 m →
39 726 m²		 N 49.255258°
E  6.031494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516750335693359 y=0.342334747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516750335693359 × 217)
    floor (0.516750335693359 × 131072)
    floor (67731.5)     		tx = 67731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342334747314453 × 217)
    floor (0.342334747314453 × 131072)
    floor (44870.5)     		ty = 44870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67731 / 44870 ti = "17/67731/44870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67731/44870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67731 ÷ 217
    67731 ÷ 131072     		x = 0.516746520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44870 ÷ 217
    44870 ÷ 131072     		y = 0.342330932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516746520996094 × 2 - 1) × π
    0.0334930419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10522149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342330932617188 × 2 - 1) × π
    0.315338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.990663967548081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10522149} λ = 0.10522149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990663967548081))-π/2
    2×atan(2.69302195805376)-π/2
    2×1.21524701550371-π/2
    2.43049403100742-1.57079632675     		φ = 0.85969770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10522149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.028747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85969770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.257050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67731 KachelY 44870 0.10522149 0.85969770 6.028747 49.257050
    Oben rechts KachelX + 1 67732 KachelY 44870 0.10526943 0.85969770 6.031494 49.257050
    Unten links KachelX 67731 KachelY + 1 44871 0.10522149 0.85966642 6.028747 49.255258
    Unten rechts KachelX + 1 67732 KachelY + 1 44871 0.10526943 0.85966642 6.031494 49.255258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85969770-0.85966642) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85969770-0.85966642) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10522149-0.10526943) × cos(0.85969770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652666534155732 × 6371000     		do = 199.341159167735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10522149-0.10526943) × cos(0.85966642) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652690232981304 × 6371000     		du = 199.348397399072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85969770)-sin(0.85966642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652666534155732-0.652690232981304)×R²
    abs(0.10526943-0.10522149)×2.36988255711834e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36988255711834e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36988255711834e-05×40589641000000     		ar = 39726.4002220753m²