Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67730 / 68441
↖ ↑ ↗
← S  7.953157°
E  6.026001°		 ← 302.42 m → S  7.953157°
E  6.028747°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  7.955877°
E  6.026001°		 ← 302.42 m →
91 462 m²		 S  7.955877°
E  6.028747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516742706298828 y=0.522167205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516742706298828 × 217)
    floor (0.516742706298828 × 131072)
    floor (67730.5)     		tx = 67730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522167205810547 × 217)
    floor (0.522167205810547 × 131072)
    floor (68441.5)     		ty = 68441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67730 / 68441 ti = "17/67730/68441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67730/68441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67730 ÷ 217
    67730 ÷ 131072     		x = 0.516738891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68441 ÷ 217
    68441 ÷ 131072     		y = 0.522163391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516738891601562 × 2 - 1) × π
    0.033477783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10517356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522163391113281 × 2 - 1) × π
    -0.0443267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.139256693396263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10517356} λ = 0.10517356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139256693396263))-π/2
    2×atan(0.870004675337965)-π/2
    2×0.715993775539381-π/2
    1.43198755107876-1.57079632675     		φ = -0.13880878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10517356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.026001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13880878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.953157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67730 KachelY 68441 0.10517356 -0.13880878 6.026001 -7.953157
    Oben rechts KachelX + 1 67731 KachelY 68441 0.10522149 -0.13880878 6.028747 -7.953157
    Unten links KachelX 67730 KachelY + 1 68442 0.10517356 -0.13885625 6.026001 -7.955877
    Unten rechts KachelX + 1 67731 KachelY + 1 68442 0.10522149 -0.13885625 6.028747 -7.955877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13880878--0.13885625) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13880878--0.13885625) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10517356-0.10522149) × cos(-0.13880878) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990381520161665 × 6371000     		do = 302.424911471062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10517356-0.10522149) × cos(-0.13885625) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990374950932794 × 6371000     		du = 302.422905477998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13880878)-sin(-0.13885625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990381520161665-0.990374950932794)×R²
    abs(0.10522149-0.10517356)×6.56922887121159e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.56922887121159e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.56922887121159e-06×40589641000000     		ar = 91462.4769778997m²