Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6773 / 6354
↖ ↑ ↗
← S 69.930300°
E117.641601°		 ← 1 676.86 m → S 69.930300°
E117.685547°		 →
↑
1 676.27 m
↓
↑
1 676.27 m
↓
S 69.945375°
E117.641601°		 ← 1 675.66 m →
2 809 871 m²		 S 69.945375°
E117.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82684326171875 y=0.77569580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82684326171875 × 213)
    floor (0.82684326171875 × 8192)
    floor (6773.5)     		tx = 6773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77569580078125 × 213)
    floor (0.77569580078125 × 8192)
    floor (6354.5)     		ty = 6354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6773 / 6354 ti = "13/6773/6354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6773/6354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6773 ÷ 213
    6773 ÷ 8192     		x = 0.8267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6354 ÷ 213
    6354 ÷ 8192     		y = 0.775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8267822265625 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05323328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05323328} λ = 2.05323328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73186430947339))-π/2
    2×atan(0.176954204862781)-π/2
    2×0.175141170914831-π/2
    0.350282341829662-1.57079632675     		φ = -1.22051398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05323328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.641601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22051398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6773 KachelY 6354 2.05323328 -1.22051398 117.641601 -69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 6774 KachelY 6354 2.05400027 -1.22051398 117.685547 -69.930300
    Unten links KachelX 6773 KachelY + 1 6355 2.05323328 -1.22077709 117.641601 -69.945375
    Unten rechts KachelX + 1 6774 KachelY + 1 6355 2.05400027 -1.22077709 117.685547 -69.945375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22051398--1.22077709) × R
    0.0002631099999999 × 6371000     		dl = 1676.27380999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22051398--1.22077709) × R
    0.0002631099999999 × 6371000     		dr = 1676.27380999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05323328-2.05400027) × cos(-1.22051398) × R
    0.000766989999999801 × 0.343163022658756 × 6371000     		do = 1676.86380759769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05323328-2.05400027) × cos(-1.22077709) × R
    0.000766989999999801 × 0.342915877912213 × 6371000     		du = 1675.65613645206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22051398)-sin(-1.22077709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163022658756-0.342915877912213)×R²
    abs(2.05400027-2.05323328)×0.000247144746542471×R²
    0.000766989999999801×0.000247144746542471×6371000²
    0.000766989999999801×0.000247144746542471×40589641000000     		ar = 2809870.70606368m²