Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67729 / 68440
↖ ↑ ↗
← S  7.950437°
E  6.023254°		 ← 302.49 m → S  7.950437°
E  6.026001°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.953157°
E  6.023254°		 ← 302.49 m →
91 501 m²		 S  7.953157°
E  6.026001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516735076904297 y=0.522159576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516735076904297 × 217)
    floor (0.516735076904297 × 131072)
    floor (67729.5)     		tx = 67729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522159576416016 × 217)
    floor (0.522159576416016 × 131072)
    floor (68440.5)     		ty = 68440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67729 / 68440 ti = "17/67729/68440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67729/68440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67729 ÷ 217
    67729 ÷ 131072     		x = 0.516731262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68440 ÷ 217
    68440 ÷ 131072     		y = 0.52215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516731262207031 × 2 - 1) × π
    0.0334625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10512562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.139208756496643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10512562} λ = 0.10512562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139208756496643))-π/2
    2×atan(0.870046381664384)-π/2
    2×0.716017513527869-π/2
    1.43203502705574-1.57079632675     		φ = -0.13876130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10512562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.023254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13876130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.950437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67729 KachelY 68440 0.10512562 -0.13876130 6.023254 -7.950437
    Oben rechts KachelX + 1 67730 KachelY 68440 0.10517356 -0.13876130 6.026001 -7.950437
    Unten links KachelX 67729 KachelY + 1 68441 0.10512562 -0.13880878 6.023254 -7.953157
    Unten rechts KachelX + 1 67730 KachelY + 1 68441 0.10517356 -0.13880878 6.026001 -7.953157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13876130--0.13880878) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13876130--0.13880878) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10512562-0.10517356) × cos(-0.13876130) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990388088541974 × 6371000     		do = 302.490014830095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10512562-0.10517356) × cos(-0.13880878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990381520161665 × 6371000     		du = 302.488008677678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13876130)-sin(-0.13880878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990388088541974-0.990381520161665)×R²
    abs(0.10517356-0.10512562)×6.56838030888007e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.56838030888007e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.56838030888007e-06×40589641000000     		ar = 91501.4378267593m²