Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67728 / 68753
↖ ↑ ↗
← S  8.800940°
E  6.020508°		 ← 301.83 m → S  8.800940°
E  6.023254°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.803654°
E  6.020508°		 ← 301.83 m →
91 090 m²		 S  8.803654°
E  6.023254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516727447509766 y=0.524547576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516727447509766 × 217)
    floor (0.516727447509766 × 131072)
    floor (67728.5)     		tx = 67728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524547576904297 × 217)
    floor (0.524547576904297 × 131072)
    floor (68753.5)     		ty = 68753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67728 / 68753 ti = "17/67728/68753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67728/68753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67728 ÷ 217
    67728 ÷ 131072     		x = 0.5167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68753 ÷ 217
    68753 ÷ 131072     		y = 0.524543762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    0.033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10507768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524543762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0490875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154213006077721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10507768} λ = 0.10507768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154213006077721))-π/2
    2×atan(0.857089436307238)-π/2
    2×0.708595475774241-π/2
    1.41719095154848-1.57079632675     		φ = -0.15360538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10507768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15360538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.800940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67728 KachelY 68753 0.10507768 -0.15360538 6.020508 -8.800940
    Oben rechts KachelX + 1 67729 KachelY 68753 0.10512562 -0.15360538 6.023254 -8.800940
    Unten links KachelX 67728 KachelY + 1 68754 0.10507768 -0.15365275 6.020508 -8.803654
    Unten rechts KachelX + 1 67729 KachelY + 1 68754 0.10512562 -0.15365275 6.023254 -8.803654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15360538--0.15365275) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15360538--0.15365275) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10507768-0.10512562) × cos(-0.15360538) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988225871454781 × 6371000     		do = 301.829618076198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10507768-0.10512562) × cos(-0.15365275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988218622638976 × 6371000     		du = 301.827404101267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15360538)-sin(-0.15365275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988225871454781-0.988218622638976)×R²
    abs(0.10512562-0.10507768)×7.2488158051609e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.2488158051609e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.2488158051609e-06×40589641000000     		ar = 91090.1151862059m²