Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67726 / 68882
↖ ↑ ↗
← S  9.150909°
E  6.015015°		 ← 301.54 m → S  9.150909°
E  6.017761°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.153621°
E  6.015015°		 ← 301.54 m →
90 906 m²		 S  9.153621°
E  6.017761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516712188720703 y=0.525531768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516712188720703 × 217)
    floor (0.516712188720703 × 131072)
    floor (67726.5)     		tx = 67726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525531768798828 × 217)
    floor (0.525531768798828 × 131072)
    floor (68882.5)     		ty = 68882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67726 / 68882 ti = "17/67726/68882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67726/68882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67726 ÷ 217
    67726 ÷ 131072     		x = 0.516708374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68882 ÷ 217
    68882 ÷ 131072     		y = 0.525527954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516708374023438 × 2 - 1) × π
    0.033416748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10498181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    -0.051055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.160396866128708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10498181} λ = 0.10498181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160396866128708))-π/2
    2×atan(0.851805669058189)-π/2
    2×0.705541414549976-π/2
    1.41108282909995-1.57079632675     		φ = -0.15971350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10498181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.015015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15971350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.150909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67726 KachelY 68882 0.10498181 -0.15971350 6.015015 -9.150909
    Oben rechts KachelX + 1 67727 KachelY 68882 0.10502975 -0.15971350 6.017761 -9.150909
    Unten links KachelX 67726 KachelY + 1 68883 0.10498181 -0.15976082 6.015015 -9.153621
    Unten rechts KachelX + 1 67727 KachelY + 1 68883 0.10502975 -0.15976082 6.017761 -9.153621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15971350--0.15976082) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15971350--0.15976082) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10498181-0.10502975) × cos(-0.15971350) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.987272887524279 × 6371000     		do = 301.538552254104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10498181-0.10502975) × cos(-0.15976082) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.98726536086573 × 6371000     		du = 301.536253418847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15971350)-sin(-0.15976082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987272887524279-0.98726536086573)×R²
    abs(0.10502975-0.10498181)×7.52665854897305e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.52665854897305e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.52665854897305e-06×40589641000000     		ar = 90906.2056439796m²