Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67724 / 44878
↖ ↑ ↗
← N 49.242707°
E  6.009522°		 ← 199.36 m → N 49.242707°
E  6.012268°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
N 49.240914°
E  6.009522°		 ← 199.36 m →
39 742 m²		 N 49.240914°
E  6.012268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516696929931641 y=0.342395782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516696929931641 × 217)
    floor (0.516696929931641 × 131072)
    floor (67724.5)     		tx = 67724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342395782470703 × 217)
    floor (0.342395782470703 × 131072)
    floor (44878.5)     		ty = 44878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67724 / 44878 ti = "17/67724/44878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67724/44878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67724 ÷ 217
    67724 ÷ 131072     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44878 ÷ 217
    44878 ÷ 131072     		y = 0.342391967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342391967773438 × 2 - 1) × π
    0.315216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99028047235112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99028047235112))-π/2
    2×atan(2.69198939507166)-π/2
    2×1.21512185008236-π/2
    2.43024370016472-1.57079632675     		φ = 0.85944737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85944737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.242707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67724 KachelY 44878 0.10488594 0.85944737 6.009522 49.242707
    Oben rechts KachelX + 1 67725 KachelY 44878 0.10493387 0.85944737 6.012268 49.242707
    Unten links KachelX 67724 KachelY + 1 44879 0.10488594 0.85941608 6.009522 49.240914
    Unten rechts KachelX + 1 67725 KachelY + 1 44879 0.10493387 0.85941608 6.012268 49.240914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85944737-0.85941608) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85944737-0.85941608) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10493387) × cos(0.85944737) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652856175051096 × 6371000     		do = 199.357486911644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10493387) × cos(0.85941608) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.652879876339857 × 6371000     		du = 199.364724385294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85944737)-sin(0.85941608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652856175051096-0.652879876339857)×R²
    abs(0.10493387-0.10488594)×2.37012887612797e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37012887612797e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37012887612797e-05×40589641000000     		ar = 39742.3553152014m²