Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67723 / 46903
↖ ↑ ↗
← N 45.477466°
E  6.006775°		 ← 214.16 m → N 45.477466°
E  6.009522°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
N 45.475540°
E  6.006775°		 ← 214.17 m →
45 859 m²		 N 45.475540°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516689300537109 y=0.357845306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516689300537109 × 217)
    floor (0.516689300537109 × 131072)
    floor (67723.5)     		tx = 67723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357845306396484 × 217)
    floor (0.357845306396484 × 131072)
    floor (46903.5)     		ty = 46903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67723 / 46903 ti = "17/67723/46903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67723/46903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67723 ÷ 217
    67723 ÷ 131072     		x = 0.516685485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46903 ÷ 217
    46903 ÷ 131072     		y = 0.357841491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516685485839844 × 2 - 1) × π
    0.0333709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10483800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357841491699219 × 2 - 1) × π
    0.284317016601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.893208250620506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10483800} λ = 0.10483800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893208250620506))-π/2
    2×atan(2.44295470315654)-π/2
    2×1.18226392353763-π/2
    2.36452784707526-1.57079632675     		φ = 0.79373152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10483800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.006775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79373152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.477466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67723 KachelY 46903 0.10483800 0.79373152 6.006775 45.477466
    Oben rechts KachelX + 1 67724 KachelY 46903 0.10488594 0.79373152 6.009522 45.477466
    Unten links KachelX 67723 KachelY + 1 46904 0.10483800 0.79369791 6.006775 45.475540
    Unten rechts KachelX + 1 67724 KachelY + 1 46904 0.10488594 0.79369791 6.009522 45.475540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79373152-0.79369791) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79373152-0.79369791) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(0.79373152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701189724110237 × 6371000     		do = 214.161390366749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(0.79369791) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701213686794987 × 6371000     		du = 214.168709187471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79373152)-sin(0.79369791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701189724110237-0.701213686794987)×R²
    abs(0.10488594-0.10483800)×2.39626847498009e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39626847498009e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39626847498009e-05×40589641000000     		ar = 45859.0143392829m²