Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67723 / 46883
↖ ↑ ↗
← N 45.515971°
E  6.006775°		 ← 214.02 m → N 45.515971°
E  6.009522°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
N 45.514046°
E  6.006775°		 ← 214.02 m →
45 800 m²		 N 45.514046°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516689300537109 y=0.357692718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516689300537109 × 217)
    floor (0.516689300537109 × 131072)
    floor (67723.5)     		tx = 67723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357692718505859 × 217)
    floor (0.357692718505859 × 131072)
    floor (46883.5)     		ty = 46883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67723 / 46883 ti = "17/67723/46883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67723/46883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67723 ÷ 217
    67723 ÷ 131072     		x = 0.516685485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46883 ÷ 217
    46883 ÷ 131072     		y = 0.357688903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516685485839844 × 2 - 1) × π
    0.0333709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10483800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357688903808594 × 2 - 1) × π
    0.284622192382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.894166988612907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10483800} λ = 0.10483800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.894166988612907))-π/2
    2×atan(2.44529797975883)-π/2
    2×1.18259993727124-π/2
    2.36519987454249-1.57079632675     		φ = 0.79440355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10483800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.006775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79440355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.515971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67723 KachelY 46883 0.10483800 0.79440355 6.006775 45.515971
    Oben rechts KachelX + 1 67724 KachelY 46883 0.10488594 0.79440355 6.009522 45.515971
    Unten links KachelX 67723 KachelY + 1 46884 0.10483800 0.79436996 6.006775 45.514046
    Unten rechts KachelX + 1 67724 KachelY + 1 46884 0.10488594 0.79436996 6.009522 45.514046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79440355-0.79436996) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dl = 214.00188999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79440355-0.79436996) × R
    3.35899999999167e-05 × 6371000     		dr = 214.00188999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(0.79440355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.700710425398897 × 6371000     		do = 214.015000203157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10483800-0.10488594) × cos(0.79436996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.700734389647782 × 6371000     		du = 214.022319501606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79440355)-sin(0.79436996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700710425398897-0.700734389647782)×R²
    abs(0.10488594-0.10483800)×2.39642488851777e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39642488851777e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39642488851777e-05×40589641000000     		ar = 45800.3977078167m²