Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67720 / 68776
↖ ↑ ↗
← S  8.863362°
E  5.998535°		 ← 301.78 m → S  8.863362°
E  6.001282°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.866076°
E  5.998535°		 ← 301.78 m →
91 055 m²		 S  8.866076°
E  6.001282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516666412353516 y=0.524723052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516666412353516 × 217)
    floor (0.516666412353516 × 131072)
    floor (67720.5)     		tx = 67720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524723052978516 × 217)
    floor (0.524723052978516 × 131072)
    floor (68776.5)     		ty = 68776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67720 / 68776 ti = "17/67720/68776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67720/68776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67720 ÷ 217
    67720 ÷ 131072     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68776 ÷ 217
    68776 ÷ 131072     		y = 0.52471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.155315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155315554768982))-π/2
    2×atan(0.856144974224336)-π/2
    2×0.708050738258773-π/2
    1.41610147651755-1.57079632675     		φ = -0.15469485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15469485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.863362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67720 KachelY 68776 0.10469419 -0.15469485 5.998535 -8.863362
    Oben rechts KachelX + 1 67721 KachelY 68776 0.10474213 -0.15469485 6.001282 -8.863362
    Unten links KachelX 67720 KachelY + 1 68777 0.10469419 -0.15474221 5.998535 -8.866076
    Unten rechts KachelX + 1 67721 KachelY + 1 68777 0.10474213 -0.15474221 6.001282 -8.866076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15469485--0.15474221) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15469485--0.15474221) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10474213) × cos(-0.15469485) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988058593860709 × 6371000     		do = 301.778527193243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10474213) × cos(-0.15474221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988051295590104 × 6371000     		du = 301.776298113543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15469485)-sin(-0.15474221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988058593860709-0.988051295590104)×R²
    abs(0.10474213-0.10469419)×7.29827060441668e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.29827060441668e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.29827060441668e-06×40589641000000     		ar = 91055.4677323027m²