Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67720 / 46936
↖ ↑ ↗
← N 45.413876°
E  5.998535°		 ← 214.40 m → N 45.413876°
E  6.001282°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
N 45.411948°
E  5.998535°		 ← 214.41 m →
45 965 m²		 N 45.411948°
E  6.001282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516666412353516 y=0.358097076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516666412353516 × 217)
    floor (0.516666412353516 × 131072)
    floor (67720.5)     		tx = 67720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358097076416016 × 217)
    floor (0.358097076416016 × 131072)
    floor (46936.5)     		ty = 46936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67720 / 46936 ti = "17/67720/46936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67720/46936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67720 ÷ 217
    67720 ÷ 131072     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46936 ÷ 217
    46936 ÷ 131072     		y = 0.35809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35809326171875 × 2 - 1) × π
    0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891626332933044))-π/2
    2×atan(2.43909320499334)-π/2
    2×1.18170899855614-π/2
    2.36341799711228-1.57079632675     		φ = 0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67720 KachelY 46936 0.10469419 0.79262167 5.998535 45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 67721 KachelY 46936 0.10474213 0.79262167 6.001282 45.413876
    Unten links KachelX 67720 KachelY + 1 46937 0.10469419 0.79258802 5.998535 45.411948
    Unten rechts KachelX + 1 67721 KachelY + 1 46937 0.10474213 0.79258802 6.001282 45.411948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79262167-0.79258802) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79262167-0.79258802) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10474213) × cos(0.79262167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 214.402940282092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10474213) × cos(0.79258802) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702004552105398 × 6371000     		du = 214.410259810143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79262167)-sin(0.79258802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.702004552105398)×R²
    abs(0.10474213-0.10469419)×2.3965000628734e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3965000628734e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3965000628734e-05×40589641000000     		ar = 45965.3767095721m²