Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6772 / 6259
↖ ↑ ↗
← S 68.447662°
E117.597656°		 ← 1 795.06 m → S 68.447662°
E117.641601°		 →
↑
1 794.39 m
↓
↑
1 794.39 m
↓
S 68.463800°
E117.597656°		 ← 1 793.78 m →
3 219 890 m²		 S 68.463800°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82672119140625 y=0.76409912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82672119140625 × 213)
    floor (0.82672119140625 × 8192)
    floor (6772.5)     		tx = 6772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76409912109375 × 213)
    floor (0.76409912109375 × 8192)
    floor (6259.5)     		ty = 6259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6772 / 6259 ti = "13/6772/6259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6772/6259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6772 ÷ 213
    6772 ÷ 8192     		x = 0.82666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6259 ÷ 213
    6259 ÷ 8192     		y = 0.7640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82666015625 × 2 - 1) × π
    0.6533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05246629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6590002220509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05246629} λ = 2.05246629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6590002220509))-π/2
    2×atan(0.190329171920041)-π/2
    2×0.18807963017365-π/2
    0.376159260347299-1.57079632675     		φ = -1.19463707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05246629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19463707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.447662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6772 KachelY 6259 2.05246629 -1.19463707 117.597656 -68.447662
    Oben rechts KachelX + 1 6773 KachelY 6259 2.05323328 -1.19463707 117.641601 -68.447662
    Unten links KachelX 6772 KachelY + 1 6260 2.05246629 -1.19491872 117.597656 -68.463800
    Unten rechts KachelX + 1 6773 KachelY + 1 6260 2.05323328 -1.19491872 117.641601 -68.463800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19463707--1.19491872) × R
    0.000281650000000022 × 6371000     		dl = 1794.39215000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19463707--1.19491872) × R
    0.000281650000000022 × 6371000     		dr = 1794.39215000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(-1.19463707) × R
    0.000766990000000245 × 0.367350980015386 × 6371000     		do = 1795.05809892068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(-1.19491872) × R
    0.000766990000000245 × 0.367089007742529 × 6371000     		du = 1793.7779731672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19463707)-sin(-1.19491872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367350980015386-0.367089007742529)×R²
    abs(2.05323328-2.05246629)×0.000261972272856181×R²
    0.000766990000000245×0.000261972272856181×6371000²
    0.000766990000000245×0.000261972272856181×40589641000000     		ar = 3219889.65898327m²