Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6772 / 2670
↖ ↑ ↗
← N 52.961875°
E117.597656°		 ← 2 943.36 m → N 52.961875°
E117.641601°		 →
↑
2 944.29 m
↓
↑
2 944.29 m
↓
N 52.935397°
E117.597656°		 ← 2 945.16 m →
8 668 774 m²		 N 52.935397°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82672119140625 y=0.32598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82672119140625 × 213)
    floor (0.82672119140625 × 8192)
    floor (6772.5)     		tx = 6772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32598876953125 × 213)
    floor (0.32598876953125 × 8192)
    floor (2670.5)     		ty = 2670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6772 / 2670 ti = "13/6772/2670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6772/2670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6772 ÷ 213
    6772 ÷ 8192     		x = 0.82666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2670 ÷ 213
    2670 ÷ 8192     		y = 0.325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82666015625 × 2 - 1) × π
    0.6533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05246629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325927734375 × 2 - 1) × π
    0.34814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0937283017312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05246629} λ = 2.05246629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0937283017312))-π/2
    2×atan(2.98538376100326)-π/2
    2×1.2475777122934-π/2
    2.49515542458681-1.57079632675     		φ = 0.92435910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05246629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92435910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.961875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6772 KachelY 2670 2.05246629 0.92435910 117.597656 52.961875
    Oben rechts KachelX + 1 6773 KachelY 2670 2.05323328 0.92435910 117.641601 52.961875
    Unten links KachelX 6772 KachelY + 1 2671 2.05246629 0.92389696 117.597656 52.935397
    Unten rechts KachelX + 1 6773 KachelY + 1 2671 2.05323328 0.92389696 117.641601 52.935397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92435910-0.92389696) × R
    0.00046214 × 6371000     		dl = 2944.29394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92435910-0.92389696) × R
    0.00046214 × 6371000     		dr = 2944.29394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(0.92435910) × R
    0.000766990000000245 × 0.602346304791586 × 6371000     		do = 2943.36117662132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(0.92389696) × R
    0.000766990000000245 × 0.602715136724911 × 6371000     		du = 2945.16347138865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92435910)-sin(0.92389696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602346304791586-0.602715136724911)×R²
    abs(2.05323328-2.05246629)×0.000368831933324487×R²
    0.000766990000000245×0.000368831933324487×6371000²
    0.000766990000000245×0.000368831933324487×40589641000000     		ar = 8668773.87262379m²