Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6772 / 2661
↖ ↑ ↗
← N 53.199452°
E117.597656°		 ← 2 927.16 m → N 53.199452°
E117.641601°		 →
↑
2 928.11 m
↓
↑
2 928.11 m
↓
N 53.173119°
E117.597656°		 ← 2 928.96 m →
8 573 690 m²		 N 53.173119°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82672119140625 y=0.32489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82672119140625 × 213)
    floor (0.82672119140625 × 8192)
    floor (6772.5)     		tx = 6772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32489013671875 × 213)
    floor (0.32489013671875 × 8192)
    floor (2661.5)     		ty = 2661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6772 / 2661 ti = "13/6772/2661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6772/2661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6772 ÷ 213
    6772 ÷ 8192     		x = 0.82666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2661 ÷ 213
    2661 ÷ 8192     		y = 0.3248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82666015625 × 2 - 1) × π
    0.6533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05246629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3248291015625 × 2 - 1) × π
    0.350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05246629} λ = 2.05246629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10063121527649))-π/2
    2×atan(3.00606289803883)-π/2
    2×1.24965096136841-π/2
    2.49930192273683-1.57079632675     		φ = 0.92850560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05246629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92850560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.199452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6772 KachelY 2661 2.05246629 0.92850560 117.597656 53.199452
    Oben rechts KachelX + 1 6773 KachelY 2661 2.05323328 0.92850560 117.641601 53.199452
    Unten links KachelX 6772 KachelY + 1 2662 2.05246629 0.92804600 117.597656 53.173119
    Unten rechts KachelX + 1 6773 KachelY + 1 2662 2.05323328 0.92804600 117.641601 53.173119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92850560-0.92804600) × R
    0.000459600000000004 × 6371000     		dl = 2928.11160000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92850560-0.92804600) × R
    0.000459600000000004 × 6371000     		dr = 2928.11160000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(0.92850560) × R
    0.000766990000000245 × 0.599031255130401 × 6371000     		do = 2927.16220869592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(0.92804600) × R
    0.000766990000000245 × 0.599399205355641 × 6371000     		du = 2928.96019500261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92850560)-sin(0.92804600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599031255130401-0.599399205355641)×R²
    abs(2.05323328-2.05246629)×0.000367950225240388×R²
    0.000766990000000245×0.000367950225240388×6371000²
    0.000766990000000245×0.000367950225240388×40589641000000     		ar = 8573690.12156502m²