Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6772 / 2638
↖ ↑ ↗
← N 53.800651°
E117.597656°		 ← 2 885.95 m → N 53.800651°
E117.641601°		 →
↑
2 886.89 m
↓
↑
2 886.89 m
↓
N 53.774689°
E117.597656°		 ← 2 887.73 m →
8 333 991 m²		 N 53.774689°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82672119140625 y=0.32208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82672119140625 × 213)
    floor (0.82672119140625 × 8192)
    floor (6772.5)     		tx = 6772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32208251953125 × 213)
    floor (0.32208251953125 × 8192)
    floor (2638.5)     		ty = 2638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6772 / 2638 ti = "13/6772/2638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6772/2638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6772 ÷ 213
    6772 ÷ 8192     		x = 0.82666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2638 ÷ 213
    2638 ÷ 8192     		y = 0.322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82666015625 × 2 - 1) × π
    0.6533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05246629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322021484375 × 2 - 1) × π
    0.35595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11827199433667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05246629} λ = 2.05246629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11827199433667))-π/2
    2×atan(3.05956269107068)-π/2
    2×1.25489741170565-π/2
    2.50979482341129-1.57079632675     		φ = 0.93899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05246629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.800651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6772 KachelY 2638 2.05246629 0.93899850 117.597656 53.800651
    Oben rechts KachelX + 1 6773 KachelY 2638 2.05323328 0.93899850 117.641601 53.800651
    Unten links KachelX 6772 KachelY + 1 2639 2.05246629 0.93854537 117.597656 53.774689
    Unten rechts KachelX + 1 6773 KachelY + 1 2639 2.05323328 0.93854537 117.641601 53.774689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93899850-0.93854537) × R
    0.000453129999999913 × 6371000     		dl = 2886.89122999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93899850-0.93854537) × R
    0.000453129999999913 × 6371000     		dr = 2886.89122999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(0.93899850) × R
    0.000766990000000245 × 0.590596498554121 × 6371000     		do = 2885.94582728313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05246629-2.05323328) × cos(0.93854537) × R
    0.000766990000000245 × 0.590962098876009 × 6371000     		du = 2887.73233080286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93899850)-sin(0.93854537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590596498554121-0.590962098876009)×R²
    abs(2.05323328-2.05246629)×0.000365600321887816×R²
    0.000766990000000245×0.000365600321887816×6371000²
    0.000766990000000245×0.000365600321887816×40589641000000     		ar = 8333990.5623075m²