Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6772 / 1747
↖ ↑ ↗
← N 80.345947°
W 31.201172°		 ← 409.74 m → N 80.345947°
W 31.179199°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
N 80.342262°
W 31.201172°		 ← 409.89 m →
167 934 m²		 N 80.342262°
W 31.179199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413360595703125 y=0.106658935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413360595703125 × 214)
    floor (0.413360595703125 × 16384)
    floor (6772.5)     		tx = 6772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106658935546875 × 214)
    floor (0.106658935546875 × 16384)
    floor (1747.5)     		ty = 1747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6772 / 1747 ti = "14/6772/1747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6772/1747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6772 ÷ 214
    6772 ÷ 16384     		x = 0.413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1747 ÷ 214
    1747 ÷ 16384     		y = 0.10662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54456318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10662841796875 × 2 - 1) × π
    0.7867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4716265444101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54456318} λ = -0.54456318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4716265444101))-π/2
    2×atan(11.841692233978)-π/2
    2×1.48654882403274-π/2
    2.97309764806548-1.57079632675     		φ = 1.40230132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54456318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.201172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40230132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.345947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6772 KachelY 1747 -0.54456318 1.40230132 -31.201172 80.345947
    Oben rechts KachelX + 1 6773 KachelY 1747 -0.54417968 1.40230132 -31.179199 80.345947
    Unten links KachelX 6772 KachelY + 1 1748 -0.54456318 1.40223700 -31.201172 80.342262
    Unten rechts KachelX + 1 6773 KachelY + 1 1748 -0.54417968 1.40223700 -31.179199 80.342262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40230132-1.40223700) × R
    6.43200000001176e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40230132-1.40223700) × R
    6.43200000001176e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54456318--0.54417968) × cos(1.40230132) × R
    0.000383499999999981 × 0.167698859650331 × 6371000     		do = 409.735018258151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54456318--0.54417968) × cos(1.40223700) × R
    0.000383499999999981 × 0.167762268420854 × 6371000     		du = 409.889943543882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40230132)-sin(1.40223700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167698859650331-0.167762268420854)×R²
    abs(-0.54417968--0.54456318)×6.34087705231601e-05×R²
    0.000383499999999981×6.34087705231601e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.34087705231601e-05×40589641000000     		ar = 167934.073172538m²