Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67719 / 68747
↖ ↑ ↗
← S  8.784654°
E  5.995788°		 ← 301.84 m → S  8.784654°
E  5.998535°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.787368°
E  5.995788°		 ← 301.84 m →
91 113 m²		 S  8.787368°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516658782958984 y=0.524501800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516658782958984 × 217)
    floor (0.516658782958984 × 131072)
    floor (67719.5)     		tx = 67719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524501800537109 × 217)
    floor (0.524501800537109 × 131072)
    floor (68747.5)     		ty = 68747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67719 / 68747 ti = "17/67719/68747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67719/68747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67719 ÷ 217
    67719 ÷ 131072     		x = 0.516654968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68747 ÷ 217
    68747 ÷ 131072     		y = 0.524497985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516654968261719 × 2 - 1) × π
    0.0333099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10464625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524497985839844 × 2 - 1) × π
    -0.0489959716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15392538468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10464625} λ = 0.10464625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15392538468))-π/2
    2×atan(0.857335989024099)-π/2
    2×0.70873759635274-π/2
    1.41747519270548-1.57079632675     		φ = -0.15332113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10464625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.995788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15332113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.784654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67719 KachelY 68747 0.10464625 -0.15332113 5.995788 -8.784654
    Oben rechts KachelX + 1 67720 KachelY 68747 0.10469419 -0.15332113 5.998535 -8.784654
    Unten links KachelX 67719 KachelY + 1 68748 0.10464625 -0.15336851 5.995788 -8.787368
    Unten rechts KachelX + 1 67720 KachelY + 1 68748 0.10469419 -0.15336851 5.998535 -8.787368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15332113--0.15336851) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15332113--0.15336851) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10464625-0.10469419) × cos(-0.15332113) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988269322363246 × 6371000     		do = 301.842889102157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10464625-0.10469419) × cos(-0.15336851) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.98826208532639 × 6371000     		du = 301.84067872482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15332113)-sin(-0.15336851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988269322363246-0.98826208532639)×R²
    abs(0.10469419-0.10464625)×7.23703685601151e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.23703685601151e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.23703685601151e-06×40589641000000     		ar = 91113.351188762m²