Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67719 / 44966
↖ ↑ ↗
← N 49.084660°
E  5.995788°		 ← 200.04 m → N 49.084660°
E  5.998535°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 49.082862°
E  5.995788°		 ← 200.04 m →
40 005 m²		 N 49.082862°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516658782958984 y=0.343067169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516658782958984 × 217)
    floor (0.516658782958984 × 131072)
    floor (67719.5)     		tx = 67719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343067169189453 × 217)
    floor (0.343067169189453 × 131072)
    floor (44966.5)     		ty = 44966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67719 / 44966 ti = "17/67719/44966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67719/44966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67719 ÷ 217
    67719 ÷ 131072     		x = 0.516654968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44966 ÷ 217
    44966 ÷ 131072     		y = 0.343063354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516654968261719 × 2 - 1) × π
    0.0333099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10464625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343063354492188 × 2 - 1) × π
    0.313873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.986062025184555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10464625} λ = 0.10464625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986062025184555))-π/2
    2×atan(2.68065729876521)-π/2
    2×1.21374262978685-π/2
    2.42748525957369-1.57079632675     		φ = 0.85668893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10464625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.995788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85668893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.084660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67719 KachelY 44966 0.10464625 0.85668893 5.995788 49.084660
    Oben rechts KachelX + 1 67720 KachelY 44966 0.10469419 0.85668893 5.998535 49.084660
    Unten links KachelX 67719 KachelY + 1 44967 0.10464625 0.85665754 5.995788 49.082862
    Unten rechts KachelX + 1 67720 KachelY + 1 44967 0.10469419 0.85665754 5.998535 49.082862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85668893-0.85665754) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85668893-0.85665754) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10464625-0.10469419) × cos(0.85668893) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		do = 200.036498372771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10464625-0.10469419) × cos(0.85665754) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.65496687737528 × 6371000     		du = 200.043743197877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85668893)-sin(0.85665754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654943156960932-0.65496687737528)×R²
    abs(0.10469419-0.10464625)×2.37204143475056e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37204143475056e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37204143475056e-05×40589641000000     		ar = 40005.1615862042m²