Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67718 / 46938
↖ ↑ ↗
← N 45.410020°
E  5.993042°		 ← 214.42 m → N 45.410020°
E  5.995788°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
N 45.408092°
E  5.993042°		 ← 214.42 m →
45 982 m²		 N 45.408092°
E  5.995788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516651153564453 y=0.358112335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516651153564453 × 217)
    floor (0.516651153564453 × 131072)
    floor (67718.5)     		tx = 67718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358112335205078 × 217)
    floor (0.358112335205078 × 131072)
    floor (46938.5)     		ty = 46938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67718 / 46938 ti = "17/67718/46938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67718/46938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67718 ÷ 217
    67718 ÷ 131072     		x = 0.516647338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46938 ÷ 217
    46938 ÷ 131072     		y = 0.358108520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516647338867188 × 2 - 1) × π
    0.033294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10459831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358108520507812 × 2 - 1) × π
    0.283782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.891530459133804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10459831} λ = 0.10459831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891530459133804))-π/2
    2×atan(2.43885937107053)-π/2
    2×1.18167534663436-π/2
    2.36335069326872-1.57079632675     		φ = 0.79255437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10459831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.993042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79255437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.410020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67718 KachelY 46938 0.10459831 0.79255437 5.993042 45.410020
    Oben rechts KachelX + 1 67719 KachelY 46938 0.10464625 0.79255437 5.995788 45.410020
    Unten links KachelX 67718 KachelY + 1 46939 0.10459831 0.79252071 5.993042 45.408092
    Unten rechts KachelX + 1 67719 KachelY + 1 46939 0.10464625 0.79252071 5.995788 45.408092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79255437-0.79252071) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dl = 214.447859999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79255437-0.79252071) × R
    3.36599999999354e-05 × 6371000     		dr = 214.447859999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10459831-0.10464625) × cos(0.79255437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702028516311131 × 6371000     		do = 214.417579095413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10459831-0.10464625) × cos(0.79252071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702052486843193 × 6371000     		du = 214.424900312906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79255437)-sin(0.79252071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702028516311131-0.702052486843193)×R²
    abs(0.10464625-0.10459831)×2.39705320626005e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39705320626005e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39705320626005e-05×40589641000000     		ar = 45982.1759973288m²