Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67717 / 68428
↖ ↑ ↗
← S  7.917793°
E  5.990296°		 ← 302.45 m → S  7.917793°
E  5.993042°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.920514°
E  5.990296°		 ← 302.45 m →
91 490 m²		 S  7.920514°
E  5.993042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516643524169922 y=0.522068023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516643524169922 × 217)
    floor (0.516643524169922 × 131072)
    floor (67717.5)     		tx = 67717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522068023681641 × 217)
    floor (0.522068023681641 × 131072)
    floor (68428.5)     		ty = 68428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67717 / 68428 ti = "17/67717/68428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67717/68428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67717 ÷ 217
    67717 ÷ 131072     		x = 0.516639709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68428 ÷ 217
    68428 ÷ 131072     		y = 0.522064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516639709472656 × 2 - 1) × π
    0.0332794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10455038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.04412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.138633513701202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10455038} λ = 0.10455038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138633513701202))-π/2
    2×atan(0.870547013555775)-π/2
    2×0.716302381651472-π/2
    1.43260476330294-1.57079632675     		φ = -0.13819156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10455038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.990296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13819156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.917793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67717 KachelY 68428 0.10455038 -0.13819156 5.990296 -7.917793
    Oben rechts KachelX + 1 67718 KachelY 68428 0.10459831 -0.13819156 5.993042 -7.917793
    Unten links KachelX 67717 KachelY + 1 68429 0.10455038 -0.13823904 5.990296 -7.920514
    Unten rechts KachelX + 1 67718 KachelY + 1 68429 0.10459831 -0.13823904 5.993042 -7.920514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13819156--0.13823904) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13819156--0.13823904) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10455038-0.10459831) × cos(-0.13819156) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990466732197229 × 6371000     		do = 302.450931991222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10455038-0.10459831) × cos(-0.13823904) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990460190609137 × 6371000     		du = 302.448934438603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13819156)-sin(-0.13823904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990466732197229-0.990460190609137)×R²
    abs(0.10459831-0.10455038)×6.54158809210159e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.54158809210159e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.54158809210159e-06×40589641000000     		ar = 91489.6167610278m²