Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67713 / 68715
↖ ↑ ↗
← S  8.697784°
E  5.979309°		 ← 301.91 m → S  8.697784°
E  5.982056°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.700499°
E  5.979309°		 ← 301.91 m →
91 154 m²		 S  8.700499°
E  5.982056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516613006591797 y=0.524257659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516613006591797 × 217)
    floor (0.516613006591797 × 131072)
    floor (67713.5)     		tx = 67713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524257659912109 × 217)
    floor (0.524257659912109 × 131072)
    floor (68715.5)     		ty = 68715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67713 / 68715 ti = "17/67713/68715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67713/68715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67713 ÷ 217
    67713 ÷ 131072     		x = 0.516609191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68715 ÷ 217
    68715 ÷ 131072     		y = 0.524253845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516609191894531 × 2 - 1) × π
    0.0332183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10435863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524253845214844 × 2 - 1) × π
    -0.0485076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.152391403892159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10435863} λ = 0.10435863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152391403892159))-π/2
    2×atan(0.858652135173356)-π/2
    2×0.709495677933643-π/2
    1.41899135586729-1.57079632675     		φ = -0.15180497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10435863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.979309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15180497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.697784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67713 KachelY 68715 0.10435863 -0.15180497 5.979309 -8.697784
    Oben rechts KachelX + 1 67714 KachelY 68715 0.10440657 -0.15180497 5.982056 -8.697784
    Unten links KachelX 67713 KachelY + 1 68716 0.10435863 -0.15185236 5.979309 -8.700499
    Unten rechts KachelX + 1 67714 KachelY + 1 68716 0.10440657 -0.15185236 5.982056 -8.700499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15180497--0.15185236) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15180497--0.15185236) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10435863-0.10440657) × cos(-0.15180497) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988499736070065 × 6371000     		do = 301.913263379068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10435863-0.10440657) × cos(-0.15185236) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988492568521525 × 6371000     		du = 301.911074225252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15180497)-sin(-0.15185236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988499736070065-0.988492568521525)×R²
    abs(0.10440657-0.10435863)×7.16754853957724e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.16754853957724e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.16754853957724e-06×40589641000000     		ar = 91153.83225332m²