Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67712 / 47231
↖ ↑ ↗
← N 44.842238°
E  5.976562°		 ← 216.56 m → N 44.842238°
E  5.979309°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 44.840291°
E  5.976562°		 ← 216.57 m →
46 897 m²		 N 44.840291°
E  5.979309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516605377197266 y=0.360347747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516605377197266 × 217)
    floor (0.516605377197266 × 131072)
    floor (67712.5)     		tx = 67712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360347747802734 × 217)
    floor (0.360347747802734 × 131072)
    floor (47231.5)     		ty = 47231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67712 / 47231 ti = "17/67712/47231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67712/47231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67712 ÷ 217
    67712 ÷ 131072     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47231 ÷ 217
    47231 ÷ 131072     		y = 0.360343933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360343933105469 × 2 - 1) × π
    0.279312133789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.877484947545128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877484947545128))-π/2
    2×atan(2.40484378586328)-π/2
    2×1.17672051324035-π/2
    2.3534410264807-1.57079632675     		φ = 0.78264470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78264470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.842238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67712 KachelY 47231 0.10431069 0.78264470 5.976562 44.842238
    Oben rechts KachelX + 1 67713 KachelY 47231 0.10435863 0.78264470 5.979309 44.842238
    Unten links KachelX 67712 KachelY + 1 47232 0.10431069 0.78261071 5.976562 44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 67713 KachelY + 1 47232 0.10435863 0.78261071 5.979309 44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78264470-0.78261071) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dl = 216.550289999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78264470-0.78261071) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dr = 216.550289999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10435863) × cos(0.78264470) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709051090881635 × 6371000     		do = 216.562454130314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10435863) × cos(0.78261071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 216.56977453798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78264470)-sin(0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709051090881635-0.709075058762226)×R²
    abs(0.10435863-0.10431069)×2.39678805914467e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39678805914467e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39678805914467e-05×40589641000000     		ar = 46897.4548676777m²